连续叉乘的化简

贡献者： addis

预备知识　矢量的叉乘，几何矢量的内积

　　几何矢量的连续两个叉乘的化简也叫 BAC-CAB 定理

\begin{gather} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )~,\\ ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )~, \end{gather}

　　要证明这个定理可以将每个叉乘在各个基底上展开（式 11 ）。

习题 1　

　　由叉乘的坐标定义（式 11 ）证明式 1 。

　　这里对连续叉乘的几何意义略作说明，可以用于理解该公式的结构。以式 1 为例，根据叉乘的几何意义我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $（命名为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $）方向垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面。又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $，所以最终的矢量再次落到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面上，所以等式右边是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的线性组合。

　　下面来介绍一种简单的记忆方法，括号外的矢量在哪边，括号内靠近那边的矢量所在的项前面就是正号，另一项前面则是负号¹，如图 1 所示。

图 1：三矢量叉乘的化简

1. ^ 又或者记忆三组矢量中，中间位置的矢量是正号。

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