速度的坐标系变换

                     

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预备知识 速度的参考系变换,圆周运动的速度,三维旋转矩阵

1. 有相对转动

   对于任意两个坐标系,他们之间的相对运动除了平移可能还有转动,即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 之间的关系可能随时间变化。这时式 1 是否仍然成立呢?

   要回答这个问题我们首先要修改 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 的定义。按照上一节的定义,如果坐标系间存在相对转动,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 将与固定点的位置有关。若定义某时刻点 $P$ 在 $S'$ 中的坐标为 $(x_p', y_p', z_p')$,则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以定义为 $S'$ 系中的固定点 $(x_p', y_p', z_p')$ 相对于 $S$ 系的瞬时速度。这时仍有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r~. \end{equation}
证明见下文。再次强调,这三个矢量也表示几何矢量。若要记为坐标的形式需要使用同一坐标系。

例 1 

   令 $S'$ 系 $t = 0$ 时与 $S$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针以恒定角速度 $\omega$ 相对 $S$ 转动,又令点 $P$ 的运动方程为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} '$,验证式 1

   首先将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 基底表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \alpha t (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~. \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \alpha (\cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + \alpha\omega t (-\sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~. \end{equation}
将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 视为常矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 关于时间求导得点 $P$ 相对于 $S'$ 系的速度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') = \alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha (\cos\omega t\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~. \end{equation}
最后,$t$ 时刻两坐标系在点 $P$ 处的相对速度(见式 5 )为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} _r &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = (\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ') \boldsymbol\times (\alpha t \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ') \\ &= \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ' \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ' = \alpha\omega t \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ' = \alpha\omega t(-\sin \omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\omega t \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )~. \end{aligned}\end{equation}
将以上三式代入式 1 可验证其成立。注意以上我们将所有的矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 基底,同理我们也可以将所有矢量用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ', \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} '$ 基底展开。

   一般情况下,相对速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 可以拆分成 $S'$ 的原点 $O'$ 在 $S$ 中的速度,以及 $S'$ 相对 $S$ 旋转产生的速度(式 5 )两部分,根据式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _r = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} '~. \end{equation}
证明:可以先在 $O'$ 处建立一个相对 $S$ 只平动不转动的坐标系 $S''$,然后考虑 $S'$ 中的固定点相对 $S''$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 旋转即可。证毕。

   所以式 1 也可以进一步写成

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ' + \boldsymbol{\mathbf{v}} '~. \end{equation}

证明

   现在用旋转变换矩阵在 $S$ 系中证明式 1 式 7

   令 $S'$ 中坐标到 $S$ 坐标的旋转变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,即对任意几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 有

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_{S'}~, \qquad ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )_S \end{equation}
那么令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'}$ 为 $S$ 的原点指向 $S'$ 的原点的几何矢量,令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别为质点在两参考系中的位置矢量,有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'} + \boldsymbol{\mathbf{r}} '~. \end{equation}
用 $S$ 中的坐标来表示,就是
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{O'})_S + \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'}~. \end{equation}
两边对时间求导得(未完成:引用矩阵乘法的求导法则)
\begin{equation} \begin{aligned} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} )_S &= ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{O'})_S + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} + \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_{S'}\\ &= ({ \boldsymbol{\mathbf{v}} }_{O'})_S + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} ')_S~. \end{aligned} \end{equation}
其中第二项为(详见 “旋转矩阵的导数”)
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_{S'} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S = ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ')_S~, \end{equation}
代入得式 7 ,证毕。


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