圆锥曲线和圆锥

             

贡献者: addis

预备知识 椭圆,抛物线,双曲线,右手定则,平面旋转矩阵

   圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线,是因为它们可以由平面截取圆锥面得到(图 1 ).然而由于这涉及较为繁琐的计算,所以初学圆锥曲线时我们往往先介绍更简单的定义,例如 “圆锥曲线的极坐标方程” 中的定义,或者直接在 $x$-$y$ 直角坐标系中使用二次方程定义(见预备知识).以下我们来证明双圆锥被平面截出的任意曲线都是圆锥曲线.

图
图 1:圆锥的有限截面是一个椭圆(来自 Wikipedia)

   双圆锥面如图 2 所示.在直角坐标系 $x$-$y$-$z$ 中,为了方便我们使用顶角(两条母线的最大夹角)为 $\pi/2$ 的圆锥

图
图 2:式 1 表示的双圆锥面(修改自 Wikipedia)

   其方程为

\begin{equation} z_1^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{equation}
对其他顶角的圆锥,我们只需要把 $z$ 轴缩放一下即可.

   我们可以再列出一个一般的平面方程与式 1 联立得到方程组,但这样解出来的曲线将与 $x$-$y$ 平面未必平行.所以更方便的办法是先把圆锥旋转一下,再用某个和 $x$-$y$ 平面平行的平面 $z = z_0$ 去截出曲线.这样就方便化为圆锥曲线的标准方程.关于 $y$ 轴的旋转变换1

\begin{equation} \begin{pmatrix}x_1\\z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} y_1 = y \end{equation}
代入式 1
\begin{equation} (\sin\theta\cdot x + \cos\theta\cdot z)^2 = (\cos\theta\cdot x - \sin\theta\cdot z)^2 + y^2 \end{equation}
这相当于把圆锥关于 $y$ 轴用右手定则旋转了 $\theta$.当 $\theta \ne \pi/4$ 时,化成椭圆或双曲线的标准方程(式 1 式 4
\begin{equation} \frac{(x - \tan2\theta \cdot z)^2}{(z/\cos2\theta)^2} + \frac{y^2}{z^2/\cos2\theta} = 1 \end{equation}
长半轴、短半轴和离心率分别为
\begin{equation} a = \frac{z}{\cos2\theta} \qquad b = \frac{z}{\sqrt{ \left\lvert \cos2\theta \right\rvert }} \qquad e = \sqrt{2}\sin\theta \end{equation}
当 $\theta < \pi/4$ 时,式中 $\cos2\theta > 0$,就得到了椭圆($e < 1$),反之则得到双曲线.

   当 $\theta = \pi/4$,式 4 化为抛物线($e = 1$)的标准方程(式 4

\begin{equation} y^2 = 2zx \end{equation}


1. ^ 式 2 式 3 可以表示为 $3\times 3$ 的三维旋转矩阵


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