圆锥曲线和圆锥

                     

贡献者: addis

预备知识 椭圆,抛物线,双曲线,右手定则,平面旋转矩阵

   圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线,是因为它们可以由平面截取圆锥面得到(图 1 )。然而由于这涉及较为繁琐的计算,所以初学圆锥曲线时我们往往先介绍更简单的定义,例如 “圆锥曲线的极坐标方程” 中的定义,或者直接在 $x$-$y$ 直角坐标系中使用二次方程定义(见预备知识)。以下我们来证明双圆锥被平面截出的任意曲线都是圆锥曲线。

图
图 1:圆锥的有限截面是一个椭圆(来自 Wikipedia)

   双圆锥面如图 2 所示。在直角坐标系 $x$-$y$-$z$ 中,为了方便我们使用顶角(两条母线的最大夹角)为 $\pi/2$ 的圆锥

图
图 2:式 1 表示的双圆锥面(修改自 Wikipedia)

   其方程为

\begin{equation} z_1^2 = x_1^2 + y_1^2~. \end{equation}
对其他顶角的圆锥,我们只需要把 $z$ 轴缩放一下即可。

   我们可以再列出一个一般的平面方程与式 1 联立得到方程组,但这样解出来的曲线将与 $x$-$y$ 平面未必平行。所以更方便的办法是先把圆锥旋转一下,再用某个和 $x$-$y$ 平面平行的平面 $z = z_0$ 去截出曲线。这样就方便化为圆锥曲线的标准方程。关于 $y$ 轴的旋转变换1

\begin{equation} \begin{pmatrix}x_1\\z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\z\end{pmatrix} ~, \end{equation}
\begin{equation} y_1 = y~. \end{equation}
代入式 1
\begin{equation} (\sin\theta\cdot x + \cos\theta\cdot z)^2 = (\cos\theta\cdot x - \sin\theta\cdot z)^2 + y^2~. \end{equation}
这相当于把圆锥关于 $y$ 轴用右手定则旋转了 $\theta$。当 $\theta \ne \pi/4$ 时,化成椭圆或双曲线的标准方程(式 1 式 4
\begin{equation} \frac{(x - \tan2\theta \cdot z)^2}{(z/\cos2\theta)^2} + \frac{y^2}{z^2/\cos2\theta} = 1~. \end{equation}
长半轴、短半轴和离心率分别为
\begin{equation} a = \frac{z}{\cos2\theta}~, \qquad b = \frac{z}{\sqrt{ \left\lvert \cos2\theta \right\rvert }}~, \qquad e = \sqrt{2}\sin\theta~. \end{equation}
当 $\theta < \pi/4$ 时,式中 $\cos2\theta > 0$,就得到了椭圆($e < 1$),反之则得到双曲线。

   当 $\theta = \pi/4$,式 4 化为抛物线($e = 1$)的标准方程(式 4

\begin{equation} y^2 = 2zx~. \end{equation}


1. ^ 式 2 式 3 可以表示为 $3\times 3$ 的三维旋转矩阵


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利