圆锥曲线和圆锥

贡献者： addis

预备知识　椭圆，抛物线，双曲线，右手定则，平面旋转矩阵

　　圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取圆锥面得到（图 1 ）。然而由于这涉及较为繁琐的计算，所以初学圆锥曲线时我们往往先介绍更简单的定义，例如 “圆锥曲线的极坐标方程” 中的定义，或者直接在 $x$ - $y$ 直角坐标系中使用二次方程定义（见预备知识）。以下我们来证明双圆锥被平面截出的任意曲线都是圆锥曲线。

图 1：圆锥的有限截面是一个椭圆（来自 Wikipedia）

　　双圆锥面如图 2 所示。在直角坐标系 $x$ - $y$ - $z$ 中，为了方便我们使用顶角（两条母线的最大夹角）为 $π / 2$ 的圆锥

图 2：式 1 表示的双圆锥面（修改自 Wikipedia）

　　其方程为

\begin{matrix} (1) & z_{1}^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} . \end{matrix}

对其他顶角的圆锥，我们只需要把

z

轴缩放一下即可。

　　我们可以再列出一个一般的平面方程与式 1 联立得到方程组，但这样解出来的曲线将与 $x$ - $y$ 平面未必平行。所以更方便的办法是先把圆锥旋转一下，再用某个和 $x$ - $y$ 平面平行的平面 $z = z_{0}$ 去截出曲线。这样就方便化为圆锥曲线的标准方程。关于 $y$ 轴的旋转变换为¹

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} x_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ z \end{matrix}), \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & y_{1} = y . \end{matrix}

代入式 1 得

\begin{matrix} (4) & (\sin θ \cdot x + \cos θ \cdot z)^{2} = (\cos θ \cdot x - \sin θ \cdot z)^{2} + y^{2} . \end{matrix}

这相当于把圆锥关于

y

轴用右手定则旋转了

θ

。当

θ \neq π / 4

时，化成椭圆或双曲线的标准方程（式 1 式 4 ）

\begin{matrix} (5) & \frac{(x - \tan 2 θ \cdot z)^{2}}{(z / \cos 2 θ)^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2} / \cos 2 θ} = 1 . \end{matrix}

长半轴、短半轴和离心率分别为

\begin{matrix} (6) & a = \frac{z}{\cos 2 θ}, b = \frac{z}{\sqrt{| \cos 2 θ |}}, e = \sqrt{2} \sin θ . \end{matrix}

当

θ < π / 4

时，式中

\cos 2 θ > 0

，就得到了椭圆（

e < 1

），反之则得到双曲线。

　　当 $θ = π / 4$ ，式 4 化为抛物线（ $e = 1$ ）的标准方程（式 4 ）

\begin{matrix} (7) & y^{2} = 2 z x . \end{matrix}

1. ^ 式 2 和式 3 可以表示为 $3 \times 3$ 的三维旋转矩阵。

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