三维旋转矩阵

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 平面旋转矩阵,自由度

   类比平面旋转矩阵,空间旋转矩阵是三维坐标的旋转变换,所以应该是 $3 \boldsymbol\times 3$ 的方阵.不同的是平面旋转变换只有一个自由度 $\theta $,而空间旋转变换除了转过的角度还需要考虑转轴的方向,三维空间中的方向有两个自由度,所有三维旋转矩阵共有 3 个自由度.

   若已经知道空间直角坐标系中三个单位正交矢量

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{equation}
经过三维旋转矩阵变换以后变为另外三个正交归一矢量.仍然以 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 作为基底,把他们分别记为
\begin{equation} \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix} \end{equation}
类比平面旋转矩阵,可以得到旋转矩阵为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _3 = \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{pmatrix}\end{equation}
这 9 个矩阵元只有 3 个是独立的,因为我们有 6 个条件:每个列矢量模长等于 1(3 个等式),且两两间正交(3 个等式).

   除了通过三个单位矢量构建旋转矩阵,我们可以通过由转轴的方向和旋转的角度来计算每个矩阵元,参考 “罗德里格旋转公式” 和 “四元数”.

1. 被动理解

  

未完成:参考 “平面旋转变换” 中的讲述

2. 逆矩阵

   如果我们把式 2 中的三个正交归一基底记为

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利