三维旋转矩阵

                     

贡献者: addis

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预备知识 平面旋转矩阵,自由度

   类比平面旋转矩阵,空间旋转矩阵是三维直角坐标的旋转变换,所以应该是 $3 \boldsymbol\times 3$ 的方阵。不同的是平面旋转变换只有一个自由度 $\theta $,而空间旋转变换除了转过的角度还需要考虑转轴的方向,三维空间中的方向有两个自由度,所有三维旋转矩阵共有 3 个自由度。

   若已经知道空间直角坐标系中三个单位正交矢量

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} ~, \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} ~, \quad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ~. \end{equation}
经过三维旋转矩阵变换以后变为另外三个正交归一矢量。仍然以 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 作为基底,把他们分别记为
\begin{equation} \begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{pmatrix} ~,\quad \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\end{pmatrix} ~,\quad \begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\end{pmatrix} ~. \end{equation}
类比平面旋转矩阵,可以得到旋转矩阵为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _3 = \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}} \end{pmatrix}~.\end{equation}
这 9 个矩阵元只有 3 个是独立的,因为我们有 6 个条件:每个列矢量模长等于 1(3 个等式),且两两间正交(3 个等式)。

   除了通过三个单位矢量构建旋转矩阵,我们可以通过由转轴的方向和旋转的角度来计算每个矩阵元,参考 “罗德里格旋转公式” 和 “四元数”。另一种常见的方法是使用欧拉角

  

未完成:例题:分别给出绕 $x,y,z$ 轴旋转的三维矩阵。

1. 被动理解

  

未完成:参考 “平面旋转变换” 中的讲述

2. 逆矩阵

  

未完成:如果我们把式 2 中的三个正交归一基底记为……


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