双曲线
贡献者： 欄、停敘; addis
未完成：综述和图
1. 用直角坐标方程定义双曲线
我们已经知道用焦点和准线如何定义双曲线，双曲线的极坐标方程为（$e>1$）
\begin{equation}
r = \frac{p}{1 - e\cos \theta }~.
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{x^2 + y^2} = p + ex~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{(e^2 - 1)^2}{p^2} \left(x + \frac{ep}{e^2 - 1} \right) ^2 - \frac{e^2 - 1}{p^2} y^2 = 1~.
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1~.
\end{equation}
\begin{equation}
a = \frac{p}{e^2 - 1}~, \quad b = \frac{p}{\sqrt{e^2 - 1} }~, \quad c = \frac{ep}{e^2 - 1}~,
\end{equation}
\begin{equation}
c^2 = a^2 + b^2~.
\end{equation}
\begin{equation}
e = \frac{c}{a} ~,\qquad p = \frac{b^2}{a}~.
\end{equation}
2. 用焦点距离之差定义双曲线
双曲线的另一种定义是，曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于 $2a$。这里证明前两种定义满足该性质。由对称性，我们不妨只考虑右支上的某点，令其到右焦点和右准线的距离分别为 $r_1$ 和 $d_1$，到左焦点和左准线的距离分别为 $r_2$ 和 $d_2$。由离心率的定义，有
\begin{equation}
e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_2 - r_1}{d_2 - d_1}~,
\end{equation}
\begin{equation}
r_2 - r_1 = e(d_2 - d_1) = 2a~,
\end{equation}
3. 用圆锥截面定义双曲线
双曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取双圆锥面得到，详见 “圆锥曲线和圆锥”。
4. 渐近线
图 1：双曲线的渐近线
当 $x,y$ 都无穷大时，式 4 中的 $1$ 可以忽略不计，有 $y/x = \pm b/a$，渐近线与 $x$ 轴夹角为
\begin{equation}
\theta_0 = \arctan\left(b/a\right) ~.
\end{equation}
\begin{equation}
c\sin\theta_0 = c\cdot b/c = b~.
\end{equation}
事实上这么推导渐近线并不严谨，在学习了高数的相关内容（见 “泰勒展开”）后，由式 4 得
\begin{equation}
y = \frac{bx}{a} \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
y = \frac ba x - \frac{ab}{2x} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^3} \right) ~.
\end{equation}
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