圆锥曲线的极坐标方程

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 极坐标的定义
图
图 1:不同离心率 $e$ 的圆锥曲线($p = 1$)

   圆锥曲线的极坐标方程是 $r$ 关于 $\theta$ 的函数(选取一个焦点作为原点)

\begin{equation} r(\theta) = \frac{l}{1 - e\cos \theta } \end{equation}

   由于 $l=ep$,式 1 也可以记为

\begin{equation} r(\theta) = \frac{ep}{1 - e\cos \theta } \end{equation}
其中 $e$ 是离心率(eccentricity),$l$ 是半通径,$p$ 是焦点到准线(directrix)的距离,叫做焦准距(focal parameter)。极角 $\theta$ 的取值范围是所有使 $r > 0$ 的值。具体来说,当 $0 < e < 1$ 时,圆锥曲线称为椭圆(ellipse),$\theta$ 可以取任意实数;当 $e = 1$ 曲线称为抛物线(parabola),$\theta$ 可以取任意不等于 $2\pi n$ 的实数($n$ 取任意整数);当 $e > 1$ 曲线称为双曲线(hyperbola),要求 $\theta_0 < \theta + 2\pi n < 2\pi-\theta_0$,其中 $n$ 取任意整数,
\begin{equation} \theta_0 = \arccos\frac{1}{e} \end{equation}
下文为了方便表述,把 $\theta$ 的取值范围限制在一个圆周内,即 $(-\pi,\pi]$ 或 $[0, 2\pi)$。

   在一些文献中,也把式 1 中的负号写为正号,此需要把图 1 中的曲线旋转 $180^\circ$,因为 $-\cos\theta = \cos\left(\theta - \pi\right) $。上述 $\theta$ 的取值范围也需要加上 $\pi$。

1. 双曲线的两支

图
图 2:双曲线分为互不相连的左右两支

   根据双曲线的其他定义,对同一个 $e > 1$,双曲线事实上是两条曲线,每条曲线称为一支。图 1 中仅画出了离焦点较近的一支。上文已经提到 $\theta_0 < \theta < 2\pi-\theta_0$。

   事实上式 1 也可以表示双曲线的另一支,只需要取 $-\theta_0 < \theta < \theta_0$,此时 $r$ 恒为负值。若我们在极坐标中定义 $(-r, \theta)$ 和 $(r, \theta + \pi)$ 表示同一点,就可以画出另一支。或者说,把式 1 中的 $r,\theta$ 分别替换为 $-r$ 和 $\theta+\pi$ 就得到了这支双曲线的正常极坐标方程($r > 0$)和极角范围

\begin{equation} r(\theta) = -\frac{l}{1 + e\cos\theta} \qquad (\pi - \theta_0 < \theta < \pi + \theta_0) \end{equation}

2. 推导

图
图 3:由离心率定义圆锥曲线

   圆锥曲线的一种定义(与其他定义等效)为(图 3 ): 平面上有一点 $O$ 和一条直线 $L$,相距为 $p$。 平面上某一点到 $O$ 的距离为 $r$,到 $L$ 的 (垂直)距离为 $d$,令常数 $e > 0$,则所有满足

\begin{equation} r/d = e \end{equation}
的点组成的曲线就是圆锥曲线。$e$ 是常数,叫做离心率,$O$ 是焦点,$L$ 是准线。当 $e = 0$ 时曲线是圆1,$0 < e < 1$ 时是椭圆,$e = 1$ 时是抛物线,$e > 1$ 时是双曲线。

   以 $O$ 点为原点,使极轴垂直于准线(如上图)。则 $$d = p + r \cos \theta $$,代入式 5

\begin{equation} \frac{r}{p + r \cos \theta } = e \end{equation}
变形,得
\begin{equation} r(\theta) = \frac{ep}{1 - e\cos \theta } \end{equation}
此即为 式 2

   若定义圆锥曲线的通径为过焦点且平行于准线的直线被圆锥曲线截出的线段长度。记半通径为 $l$,则通径为 $2l$,那么有 $r(\pi /2) = l$。代入式 2 得 $l = ep$。所以式 2 又可以写为

\begin{equation} r(\theta) = \frac{l}{1 - e\cos \theta } \end{equation}
此即为式 1

   注意 $p$ 和 $e$ 分别控制圆锥曲线的大小和形状。由于抛物线的 $e = 1$ 不变,所以所有抛物线的形状都相同。


1. ^ 注意根据定义,圆的准线为无穷远,所以只能使用式 1 而不能用式 2 。所以在图 1 中,圆的半径为无穷小。


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