圆锥曲线的极坐标方程

             

预备知识 极坐标的定义

   圆锥曲线的极坐标方程是 $r$ 关于 $\theta$ 的函数

\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 - e\cos \theta } \end{equation}
其中 $e$ 是离心率,$p$ 是半通径.也可以记为
\begin{equation} r(\theta) = \frac{eh}{1 - e\cos \theta } \end{equation}
其中 $h$ 是焦点到准线的距离.

图
图 1:由离心率定义圆锥曲线

1. 推导

   圆锥曲线的一种定义(与其他定义等效)为(图 1 ): 平面上有一点 $O$ 和一条直线 $L$,相距为 $h$. 平面上某一点到 $O$ 的距离为 $r$,到 $L$ 的 (垂直)距离为 $a$,令常数 $e > 0$,则所有满足

\begin{equation} r/a = e \end{equation}
的点组成的曲线就是圆锥曲线.$e$ 是常数,叫做离心率,$O$ 是焦点,$L$ 是准线.当 $e = 0$ 时曲线是圆1,$0 < e < 1$ 时是椭圆,$e = 1$ 时是抛物线,$e > 1$ 时是双曲线.

   以 $O$ 点为原点,使极轴垂直于准线(如上图).则 $a = h + r \cos \theta $,根据式 3

\begin{equation} \frac{r}{h + r \cos \theta } = e \end{equation}
变形,得式 2

图
图 2:不同离心率 $e$ 的圆锥曲线($h = 1$)

   若定义圆锥曲线的通径为过焦点且平行于准线的直线被圆锥曲线截出的线段长度.记半通径为 $p$,则通径为 $2p$,那么有 $r(\pi /2) = p$.代入式 2 得 $p = eh$.所以式 2 又可以写为

\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 - e\cos \theta } \end{equation}

   注意 $p$ 和 $e$ 分别控制圆锥曲线的大小和形状.由于抛物线的 $e = 1$ 不变,所以所有抛物线的形状都相同.

   式 5 中一种比较特殊的情况是当圆锥曲线为双曲线($e > 1$)且 $1- e\cos\theta < 0$ 时 $r$ 取负值,会产生双曲线的左半支(即离焦点较远的一支,图中未画出).左半支上的任意一点同样满足式 3 .若只需要在极坐标中表示较远的一支,我们可以将式 5 中的 $r$ 替换为 $-r$,$\theta$ 替换为 $\theta + \pi$,这样,就得到了这支双曲线的正常极坐标方程($r > 0$)

\begin{equation} r(\theta) = -\frac{p}{1 + e\cos\theta} \end{equation}


1. ^ 注意根据定义,圆的准线为无穷远,所以只能使用式 1 而不能用式 2 .所以在图 2 中,圆的半径为无穷小.

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