圆锥曲线（总结）

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

1. 圆锥曲线的定义

　　¹圆锥曲线（conic section）的一般定义：曲线上任意一点至一定点（焦点）的距离，与它至一直线（准线）的垂直距离始终成固定比例（离心率）:

\begin{equation} \left \{P \middle| \frac{ \left\lvert PF \right\rvert }{ \left\lvert PL \right\rvert }=e \right \}~. \end{equation}

其中 $P$ 为曲线上一点，$F$ 为定点，$L$ 为定直线，$e$ 为该固定比例，$ \left\lvert PL \right\rvert $ 表示点到直线的垂直距离。

　　根据 $e$ 的取值，可将圆锥曲线分为三类。相应的图例请参考下文。

表1：圆锥曲线的分类

离心率	名称
$0< e<1$	椭圆
$e=1$	抛物线
$e>1$	双曲线

未完成：抛物线的例子：事实上抛物线只有一个形状，无论如何水平拉伸，竖直拉伸，都等效于等比例缩放。这也是为什么抛物线的离心率只有一个值（离心率决定圆锥曲线的形状）。

2. 圆锥曲线方程

　　本节使用的术语请参考下文。

图 1：圆锥曲线方程

　　以极坐标表示圆锥曲线时，原点为圆锥曲线的（一个）焦点。其中 $e$ 是离心率，$l$ 是半通径，极角 $\theta$ 的取值范围是所有使 $r>0$ 的值。具体的推导与说明请参考圆锥曲线的极坐标方程。

　　以直角坐标表示圆锥曲线时，原点为该图形的几何中心（对于抛物线，则是他的顶点），这与极坐标是不同的。有时，相对于抽象的极坐标方程，直角坐标表示的圆锥曲线更为直观。

3. 圆锥曲线常用术语

图 2：椭圆

图 3：抛物线

图 4：双曲线

　　一些术语：

焦距：两焦点的距离
焦准距：焦点至与之对应的准线的距离
通径：过焦点做准线的平行线交曲线于两点，这两点所确定的直线段（的长度）
离心率：半焦距与半长轴之比；或如定义所述，曲线上一点至焦点与准线的距离之比。

表2：圆锥曲线术语及定义

名称	直角坐标方程	半焦距 Linear Eccentricity $c$	离心率 Eccentricity $e = \frac{c}{a}$	半通径 Semi Latus Rectum $l=\frac{b^2}{a}$	焦准距 Focal Parameter$p=\frac{b^2}{c}$	焦点坐标	准线方程	备注
椭圆 Ellipse	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\sqrt{a^2-b^2}$, $b^2+c^2=a^2$	$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} < 1$	$\frac{b^2}{a}$	$\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$	$(\pm c,0)$	$x=\pm a^2/c$
抛物线 Parabola	$y^2=4ax$	\	1	$2a$	$2a$	$(a,0)$	$x=-a$	只有一条准线和一个焦点
双曲线 Hyperbola	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\sqrt{a^2+b^2}$,$a^2+b^2=c^2$	$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ > 1	$\frac{b^2}{a}$	$\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$	$(\pm c,0)$	$x=\pm a^2/c$	分为互不相连的两支

　　常用恒等式：

$c=ae$
$l=pe$

1. ^ 本文参考自 Wikipedia 的 Conic Section、圆锥曲线文章。

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