圆锥曲线(总结)

                     

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1. 圆锥曲线的定义

  1圆锥曲线(conic section)的一般定义:曲线上任意一点至一定点(焦点)的距离,与它至一直线(准线)的垂直距离始终成固定比例(离心率):

\begin{equation} \left \{P \middle| \frac{ \left\lvert PF \right\rvert }{ \left\lvert PL \right\rvert }=e \right \}~. \end{equation}
其中 $P$ 为曲线上一点,$F$ 为定点,$L$ 为定直线,$e$ 为该固定比例,$ \left\lvert PL \right\rvert $ 表示点到直线的垂直距离。

   根据 $e$ 的取值,可将圆锥曲线分为三类。相应的图例请参考下文。

表1:圆锥曲线的分类
离心率 名称
$0< e<1$ 椭圆
$e=1$ 抛物线
$e>1$ 双曲线

2. 圆锥曲线方程

   本节使用的术语请参考下文。

图
图 1:圆锥曲线方程

   以极坐标表示圆锥曲线时,原点为圆锥曲线的(一个)焦点。其中 $e$ 是离心率,$l$ 是半通径,极角 $\theta$ 的取值范围是所有使 $r>0$ 的值。 具体的推导与说明请参考圆锥曲线的极坐标方程

   以直角坐标表示圆锥曲线时,原点为该图形的几何中心(对于抛物线,则是他的顶点),这与极坐标是不同的。有时,相对于抽象的极坐标方程,直角坐标表示的圆锥曲线更为直观。

3. 圆锥曲线常用术语

图
图 2:椭圆
图
图 3:抛物线
图
图 4:双曲线

   一些术语:

表2:圆锥曲线术语及定义
名称 直角坐标方程 半焦距 Linear Eccentricity $c$ 离心率 Eccentricity $e = \frac{c}{a}$ 半通径 Semi Latus Rectum $l=\frac{b^2}{a}$ 焦准距 Focal Parameter$p=\frac{b^2}{c}$ 焦点坐标准线方程 备注
椭圆 Ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\sqrt{a^2-b^2}$, $b^2+c^2=a^2$ $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} < 1$ $\frac{b^2}{a}$ $\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ $(\pm c,0)$ $x=\pm a^2/c$
抛物线 Parabola $y^2=4ax$ \ 1 $2a$ $2a$ $(a,0)$ $x=-a$ 只有一条准线和一个焦点
双曲线 Hyperbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\sqrt{a^2+b^2}$,$a^2+b^2=c^2$ $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ > 1 $\frac{b^2}{a}$ $\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $(\pm c,0)$ $x=\pm a^2/c$ 分为互不相连的两支

   常用恒等式:


1. ^ 本文参考自 Wikipedia 的 Conic Section、圆锥曲线词条。


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