抛物线

                     

贡献者： addis; ACertainUser

1. 用直角坐标方程定义抛物线

　　 我们已经知道用焦点和准线如何定义抛物线和其他圆锥曲线（式 1 ），抛物线的离心率 $e = 1$，所以极坐标方程为

以与极坐标系相同的原点建立直角坐标系，要把以上方程变到直角坐标系中，将 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\cos \theta = x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 代入得 两边平方并化简得到 把双曲线沿 $x$ 轴正方向移动 $p/2$，可得标准抛物线方程 所以抛物线的焦距（焦点到端点）为 $f = p/2$。与椭圆和双曲线不同的是，所有的抛物线的形状都相似（形状相同，大小不同），这是因为抛物线有固定的离心率（离心率决定圆锥曲线的形状，焦距或准线决定大小）。

2. 另一种定义

　　 这就是 “圆锥曲线的极坐标方程” 中对抛物线的定义。

　　 在 $x$ 轴正半轴作一条与准线平行的直线 $L$，则抛物线上一点 $P$ 到其焦点的距离 $r$ 与 $P$ 到 $L$ 的距离之和不变。

　　 如图 1 ，要证明由焦点和准线定义的抛物线满足该性质，只需过点 $P$ 作从准线到直线 $L$ 的垂直线段 $AB$，由于 $r$ 等于线段 $PA$ 的长度，所以 $r$ 加上 $PB$ 的长度等于 $AB$ 的长度，与 $P$ 的位置无关。证毕。

3. 用圆锥截面定义抛物线

　　 抛物线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取双圆锥面得到，详见 “圆锥曲线和圆锥”。

4. 端点的曲率半径

　　 抛物线顶点处的曲率半径为 $p$.

　　 我们使用极坐标曲率半径公式 $$ \rho = \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}~. $$ 与抛物线的极坐标方程： $$ r = \frac{p}{1 - \cos \theta }~. $$

　　 在抛物线顶点处，我们有 $$ r|_{\theta = \pi} = \frac{p}{1 - \cos \theta} = \frac{p}{2}~, $$ $$ r' |_{\theta = \pi} = -\frac{p}{(1 - \cos \theta)^2} \sin\left(\theta\right) = 0~. $$ $r'' |_{\theta = \pi}$ 使用导数的定义会更好做，这也是高数中求解复杂导数的一个技巧： $$ \begin{aligned} r''|_{\theta = \pi} &= \lim_{\theta \to \pi} \frac{r'(\theta) - r'(\pi)}{\theta - \pi}\\ &=\lim_{\theta \to \pi} \frac{-\frac{p}{(1 - \cos \theta)^2} \sin\left(\theta\right) }{\theta - \pi}\\ &=-\frac{p}{4} \lim_{\theta \to \pi} \frac{ \sin\left(\theta\right) }{\theta - \pi}\\ &=\frac{p}{4}~.\\ \end{aligned} $$

　　 那么 $$ \begin{aligned} \rho &= \frac{(r^2 + \dot r^2)^{3/2}}{r^2 + 2\dot r^2 - r\ddot r}\\ &=\frac{p^3/8}{p^2/4 - p/2*p/4}\\ &=\frac{p^3/8}{p^2/8}\\ &=p~.\\ \end{aligned} $$