抛物线的三种定义

预备知识　圆锥曲线的极坐标方程

1. 第二种定义

　　我们已经知道用焦点和准线如何定义抛物线和其他圆锥曲线（式 1 ），抛物线的离心率 $e = 1$，所以极坐标方程为

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - \cos \theta } \end{equation}

以与极坐标系相同的原点建立直角坐标系，要把以上方程变到直角坐标系中，将 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，$\cos \theta = x/\sqrt{x^2 + y^2}$ 代入得

\begin{equation} \sqrt{x^2 + y^2} = p + x \end{equation}

两边平方并化简得到

\begin{equation} y^2 = 2p \left(x + \frac p2 \right) \end{equation}

把双曲线沿 $x$ 轴正方向移动 $p/2$，可得标准抛物线方程

\begin{equation} y^2 = 2px \end{equation}

所以抛物线的焦距为 $f = p/2$．与椭圆和双曲线不同的是，所有的抛物线的形状都相似（形状相同，大小不同），这是因为抛物线有固定的离心率（离心率决定圆锥曲线的形状，焦距或准线决定大小）．

2. 第三种定义

图 1：抛物线的第三种定义

　　在 $x$ 轴正半轴作一条与准线平行的直线 $L$，则抛物线上一点 $P$ 到其焦点的距离 $r$ 与 $P$ 到 $L$ 的距离之和不变．

　　如图 1 ，要证明由焦点和准线定义的抛物线满足该性质，只需过点 $P$ 作从准线到直线 $L$ 的垂直线段 $AB$，由于 $r$ 等于线段 $PA$ 的长度，所以 $r$ 加上 $PB$ 的长度等于 $AB$ 的长度，与 $P$ 的位置无关．证毕．

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制，大量广告，内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。