抛物线

贡献者： addis; ACertainUser

1. 用直角坐标方程定义抛物线

　　 我们已经知道用焦点和准线如何定义抛物线和其他圆锥曲线（式 1 ），抛物线的离心率 $e=1$，所以极坐标方程为

2. 另一种定义

　　 这就是 “圆锥曲线的极坐标方程” 中对抛物线的定义。

　　 在 $x$ 轴正半轴作一条与准线平行的直线 $L$，则抛物线上一点 $P$ 到其焦点的距离 $r$ 与 $P$ 到 $L$ 的距离之和不变。

　　 如图 1 ，要证明由焦点和准线定义的抛物线满足该性质，只需过点 $P$ 作从准线到直线 $L$ 的垂直线段 $AB$，由于 $r$ 等于线段 $PA$ 的长度，所以 $r$ 加上 $PB$ 的长度等于 $AB$ 的长度，与 $P$ 的位置无关。证毕。

3. 用圆锥截面定义抛物线

　　 抛物线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取双圆锥面得到，详见 “圆锥曲线和圆锥”。

4. 端点的曲率半径

　　 抛物线顶点处的曲率半径为 $p$.

　　 我们使用极坐标曲率半径公式 $$\rho =\frac{(r^2+{\dot{r}}^2{)}^{3/2}}{r^2+2{\dot{r}}^2-r\ddot{r}}.$$ 与抛物线的极坐标方程： $$r=\frac{p}{1-\cos \theta }.$$

　　 在抛物线顶点处，我们有 $$r{|}_{\theta =\pi }=\frac{p}{1-\cos \theta }=\frac{p}{2},$$ $$r^{\prime }{|}_{\theta =\pi }=-\frac{p}{(1-\cos \theta {)}^2}\sin \left(\theta \right)=0.$$ $r^{″}{|}_{\theta =\pi }$ 使用导数的定义会更好做，这也是高数中求解复杂导数的一个技巧： $$\begin{array}{rl}{r}^{″}{|}_{\theta =\pi }& =\underset{\theta \to \pi }{lim}\frac{r^{\prime }(\theta )-r^{\prime }(\pi )}{\theta -\pi }\\ & =\underset{\theta \to \pi }{lim}\frac{-\frac{p}{(1-\cos \theta {)}^2}\sin \left(\theta \right)}{\theta -\pi }\\ & =-\frac{p}{4}\underset{\theta \to \pi }{lim}\frac{\sin \left(\theta \right)}{\theta -\pi }\\ & =\frac{p}{4}.\end{array}$$

　　 那么 $$\begin{array}{rl}\rho & =\frac{(r^2+{\dot{r}}^2{)}^{3/2}}{r^2+2{\dot{r}}^2-r\ddot{r}}\\ & =\frac{p^3/8}{p^2/4-p/2\ast p/4}\\ & =\frac{p^3/8}{p^2/8}\\ & =p.\end{array}$$