平面旋转变换

             

预备知识 三角恒等式,极坐标系
图
图 1:把矢量绕原点旋转 $\alpha$ 角

   已知直角坐标系中一点 $P(x,y)$,$P$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha $ 角($\alpha \in R$)之后变为 $P'(x',y')$ 则有

\begin{align} x' &= (\cos \alpha)x + (- \sin \alpha)y \\ y' &= (\sin \alpha)x + (\cos \alpha)y \end{align}
其逆变换如下,即已知 $P'(x',y')$ 求 $P(x,y)$
\begin{align} x &= ( \cos \alpha )x' + ( \sin \alpha )y' \\ y &= ( - \sin \alpha)x' + ( \cos \alpha )y' \end{align}

绕任点旋转

   要绕任意点 $(x_0, y_0)$ 旋转,只需要先把矢量末端平移 $(-x_0, -y_0)$,绕原点旋转后再平移 $(x_0, y_0)$ 即可

\begin{equation} \begin{aligned} x' &= ( \cos \alpha )(x-x_0) + ( \sin \alpha )(y-y_0) + x_0 \\ y' &= ( - \sin \alpha)(x-x_0) + ( \cos \alpha )(y-y_0) + y_0 \end{aligned} \end{equation}

1. 推导

   平面上一点 $P(x,y)$ 也可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示,一般情况下令极点与原点重合,极径与 $x$ 轴重合,则有

\begin{equation} x = r\cos \theta \qquad y = r\sin \theta \end{equation}
把点 $P$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha $ 角变为 $P'$,则 $P'$ 极坐标为 $(r, \theta + \alpha)$.根据上式计算为 $P'$ 的直角坐标 $(x', y')$ 并用两角和公式(式 3 )化简如下
\begin{align} x' &= r \cos\left(\theta + \alpha\right) = r\cos\theta \cos\alpha - r\sin\theta \sin\alpha = x\cos\alpha - y\sin\alpha \\ y' &= r \sin\left(\theta + \alpha\right) = r\sin\theta \cos\alpha + r\cos\theta \sin\alpha = x\sin\alpha + y\cos\alpha \end{align}
这就证明了式 1 式 2 两式.

   若要证式 3 式 4 有两种方法.一是将式 1 式 2 式中的 $x, y$ 看成未知数,解二元一次方程组.另一种方法的思路是,既然 $P$ 逆时针旋转 $\alpha $ 角为 $P'$,那么把 $P'$ 顺时针旋转 $\alpha$ 角可得到 $P$.而 “顺时针旋转 $\alpha$ 角” 就是 “逆时针旋转 $-\alpha $ 角”.把变换式 1 式 2 中的 $\alpha$ 换为 $-\alpha$ 再化简得

\begin{align} x &= \cos\left(-\alpha\right) x' - \sin\left(-\alpha\right) y' = \cos\alpha x' + \sin\alpha y'\\ y &= \sin\left(-\alpha\right) x' + \cos\left(-\alpha\right) y' = -\sin\alpha x' + \cos\alpha y' \end{align}
证毕.

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