椭圆的三种定义

             

预备知识 圆锥曲线的极坐标方程

1. 第二种定义

   我们已经知道用焦点和准线如何定义椭圆,但从椭圆的极坐标公式难以看出椭圆的对称性,这里用相同的定义推导直角坐标的表达式.我们不妨先以一个焦点为原点定义直角坐标系,且令 $x$ 轴指向另一个焦点,则有

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{equation}
代入椭圆的极坐标方程式 1
\begin{equation} \sqrt{x^2 + y^2} = p + ex \end{equation}
两边平方并整理得
\begin{equation} (1 - e^2) \left(x - \frac{ep}{1 - e^2} \right) ^2 + y^2 = \frac{p^2}{1 - e^2} \end{equation}
由此可见,如果我们把椭圆左移 $ep/(1 - e^2)$,椭圆将具有
\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation}
的形式.其中 $a$ 为半长轴,$b$ 为半短轴.这就是椭圆的第二种定义,即把单位圆沿两个垂直方向分别均匀拉长 $a$ 和 $b$.所以也可以表示为参数方程
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x(t) = a\cos t\\ &y(t) = b\sin t \end{aligned}\right. \qquad (a > b > 0) \end{equation}

   下面来看系数的关系.首先定义椭圆的焦距为焦点到椭圆中心的距离(即以上左移的距离)为

\begin{equation} c = \frac{ep}{1 - e^2} \end{equation}
式 3 式 4 对比系数得
\begin{equation} a = \frac{p}{1 - e^2} \qquad b = \frac{p}{\sqrt {1 - e^2} } \end{equation}
以上两式可以将椭圆的极坐标方程转为直角坐标方程.另外易证
\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation}
若要从直角坐标方程变回极坐标方程,将式 6 式 7 逆转得
\begin{equation} e = \frac{c}{a}\qquad p = \frac{b^2}{a} \end{equation}

2. 第三种定义

   椭圆的第三种定义是,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 $2a$.现在我们来证明前两种定义下的椭圆满足这个条件.由直角坐标方程可知对称性,可在椭圆的两边做两条准线,令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,到两准线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$,则有

\begin{equation} e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 + r_2}{d_1 + d_2} \end{equation}
所以
\begin{equation} r_1 + r_2 = e(d_1+d_2) = 2e(c + h) = 2\frac{c}{a} \left(c + \frac{b^2}{c} \right) = 2a \end{equation}
证毕.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利