椭圆

                     

贡献者: addis

预备知识 圆锥曲线的极坐标方程

   我们已经知道用焦点和准线如何定义椭圆,下面介绍另外三种.其中 “圆锥截面定义” 揭示了 “圆锥曲线” 一词的由来.

1. 用直角坐标方程定义椭圆

   从椭圆的极坐标公式难以看出椭圆的对称性,另一种定义椭圆的方法是直接在直角坐标系中给出椭圆的方程

\begin{equation} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation}
这相当于把一个单位圆(方程 $x^2 + y^2 = 1$)在 $x$ 轴和 $y$ 轴分别拉长了 $a$ 倍和 $b$ 倍.我们这里用焦点和准线的定义来推导出上式,以证明它们等价.我们不妨先以一个焦点为原点定义直角坐标系,且令 $x$ 轴指向另一个焦点,则有
\begin{equation} r = \sqrt{x^2 + y^2}~, \qquad \cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{equation}
代入椭圆的极坐标方程式 1
\begin{equation} \sqrt{x^2 + y^2} = p + ex \end{equation}
两边平方并整理得
\begin{equation} (1 - e^2) \left(x - \frac{ep}{1 - e^2} \right) ^2 + y^2 = \frac{p^2}{1 - e^2} \end{equation}
由此可见,如果我们把椭圆左移 $ep/(1 - e^2)$,椭圆将具有式 1 的形式.其中 $a$ 为半长轴,$b$ 为半短轴.这就是椭圆的第二种定义,即把单位圆沿两个垂直方向分别均匀拉长 $a$ 和 $b$.所以也可以表示为参数方程
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x(t) = a\cos t\\ &y(t) = b\sin t \end{aligned}\right. \qquad (a > b > 0) \end{equation}

   下面来看系数的关系.首先定义椭圆的焦距为焦点到椭圆中心的距离(即以上左移的距离)为

\begin{equation} c = \frac{ep}{1 - e^2} \end{equation}
式 4 式 1 对比系数得
\begin{equation} a = \frac{p}{1 - e^2}~, \qquad b = \frac{p}{\sqrt {1 - e^2} } \end{equation}
以上两式可以将椭圆的极坐标方程转为直角坐标方程.另外易证
\begin{equation} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation}
若要从直角坐标方程变回极坐标方程,将式 6 式 7 逆转得
\begin{equation} e = \frac{c}{a}~,\qquad p = \frac{b^2}{a} \end{equation}

2. 用焦点距离之和定义椭圆

   椭圆的另一种定义是,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴 $2a$.现在我们来证明前两种定义下的椭圆满足这个条件.由直角坐标方程可知对称性,可在椭圆的两边做两条准线,令椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,到两准线的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$,则有

\begin{equation} e = \frac{r_1}{d_1} = \frac{r_2}{d_2} = \frac{r_1 + r_2}{d_1 + d_2} \end{equation}
所以
\begin{equation} r_1 + r_2 = e(d_1+d_2) = 2e(c + h) = 2\frac{c}{a} \left(c + \frac{b^2}{c} \right) = 2a \end{equation}
证毕.

3. 用圆锥截面定义椭圆

   椭圆之所以叫做圆锥曲线,是因为它们可以由平面截取圆锥面得到,详见 “圆锥曲线和圆锥”.


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