开普勒第一定律的证明

                     

贡献者: addis

预备知识 开普勒三定律

   行星轨道是以中心天体为焦点的任意圆锥曲线1.开普勒第一定律一般使用极坐标讲解,圆锥曲线的极坐标方程

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - e \cos \theta } \end{equation}
令中心天体固定在坐标原点,则行星沿该轨道运行.

   下面给出两种证明方式,第一种 LRL 矢量法偏物理,无需使用微分方程,相对简单.第二种在极坐标中解二阶微分方程,即比耐公式.

1. 用 LRL 矢量证明

预备知识 拉普拉斯—龙格—楞次矢量,三矢量的混合积

   将拉普拉斯—龙格—楞次(LRL)矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 点乘位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - mkr \end{equation}
由矢量混合积式 2 ,右边第一项为
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = L^2 \end{equation}
令 $\theta$ 为从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 转向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角(令极轴与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 平行,如图 1 ),则式 2 变为

图
图 1:LRL 矢量与位置矢量夹角

\begin{equation} Ar\cos\theta = L^2 - mkr \end{equation}
可得极坐标中的轨道为圆锥曲线的极坐标方程2
\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta} \end{equation}
其中通径为 $p = L^2/(mk)$,离心率为 $e = A/(mk)$.

2. 用比耐公式证明

预备知识 比耐公式,二阶常系数非齐次微分方程的通解

   将平方反比力 $F(r) = -k/r^2$ 即 $F(1/u) = -ku^2$ 代入比耐公式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right) \end{equation}
通解
\begin{equation} u(\theta) = \frac{1}{p} \left[1 - e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}
其中
\begin{equation} p = \frac{L^2}{mk} \end{equation}
式 7 代入 $r = 1/u$,得到圆锥曲线式 1 .证毕.

另一种推导

   在开普勒问题中,相互作用势为 $V(\rho)=-GMm/\rho=-k/\rho$.那么 式 8 变为

\begin{equation} \begin{aligned} \left|\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|&=\sqrt{-u^2+\frac{2m k}{L^2}u+\frac{2m E}{L^2}}\\ &=\sqrt{- \left(u-\frac{m k}{L^2} \right) ^2+\frac{2m E}{L^2}+\frac{m^2 k^2}{L^4}} \end{aligned} \end{equation}
该一阶偏微分方程的解的形式为
\begin{equation} u-\frac{m k}{L^2}=\alpha \cos\left(\phi-\beta\right) \end{equation}
可以解得
\begin{equation} \begin{aligned} \alpha=\sqrt{\frac{2m E}{L^2}+\frac{m^2 k^2}{L^4}}\\ \end{aligned} \end{equation}
这样就求得了 $u$ 关于 $\phi$ 的表达式.最后将 $u$ 用 $\rho=1/u$ 表示,得到
\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) } \end{equation}
其中 $e$ 为轨道的偏心率(或者称离心率).$p,e$ 由下式给出:
\begin{equation} \begin{aligned} &p=\frac{L^2}{m k}\\ &e=\frac{L^2}{m k}\alpha=\sqrt{1+\frac{2L^2E}{m k^2}} \end{aligned} \end{equation}

   根据圆锥曲线的极坐标方程,可以知道开普勒问题的轨道呈椭圆、抛物线或双曲线形状.

3. 平方反比斥力

   当有心力从引力变为斥力时,令 $F(r) = k/r^2$ 即 $F(1/u) = ku^2$ 代入比耐公式,解得

\begin{equation}u(\theta) = -\frac{1}{p} \left[1 + e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}
式 7 相比,中的常数项由正号变为负号,这使得极坐标的双曲线方程表达双曲线离焦点较远的一支(见式 4 ).


1. ^ 行星轨道不一定是椭圆,也可以是抛物线或者双曲线,但是抛物线或双曲线轨道是从无穷远来到无穷远去的轨道,不会绕中心天体旋转.所以开普勒定律作为行星运动的经验公式,只描述了椭圆.
2. ^ 对比式 1 会发现分母的正负号反了,这相当于把圆锥曲线旋转了 $180^\circ$,并不影响形状.


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