开普勒第一定律的证明

             

预备知识 开普勒三定律

   行星轨道是以中心天体为焦点的任意圆锥曲线1.极坐标中,圆锥曲线的方程

\begin{equation} r = \frac{p}{1 - e \cos \theta } \end{equation}
令太阳中心天体在坐标原点,则行星沿该轨道运行.

1. 用 LRL 矢量证明

预备知识 拉普拉斯—龙格—楞次矢量

   我们先来看一种无需微分方程的推导,将开普勒问题中的 LRL 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 内积位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - mkr \end{equation}
由矢量混合积公式式 2 ,右边第一项为
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = L^2 \end{equation}
令 $\theta$ 为从 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 转向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角(令极轴与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 平行,如图 1 ),则式 2 变为

图
图 1:LRL 矢量与位置矢量夹角

\begin{equation} Ar\cos\theta = L^2 - mkr \end{equation}
可得极坐标中的轨道为圆锥曲线的极坐标方程2
\begin{equation} r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta} \end{equation}
其中通径为 $p = L^2/(mk)$,离心率为 $e = A/(mk)$.

2. 用比耐公式证明

预备知识 比耐公式,二阶常系数非齐次微分方程的通解

   将平方反比力 $F(r) = -k/r^2$ 即 $F(1/u) = -ku^2$ 代入比耐公式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F \left(\frac 1u \right) \end{equation}
通解
\begin{equation} u(\theta) = \frac{1}{p} \left[1 - e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}
其中
\begin{equation} p = \frac{L^2}{mk} \end{equation}
式 7 代入 $r = 1/u$,得到圆锥曲线式 1 .证毕.

3. 平方反比斥力

   当有心力从引力变为斥力时,令 $F(r) = k/r^2$ 即 $F(1/u) = ku^2$ 代入比耐公式,解得

\begin{equation}u(\theta) = -\frac{1}{p} \left[1 + e \cos\left(\theta + \phi_0\right) \right] \end{equation}
式 7 相比,中的常数项由正号变为负号,这使得极坐标的双曲线方程表达双曲线离焦点较远的一支(见式 6 ).


1. ^ 行星轨道不一定是椭圆,也可以是抛物线或者双曲线,但是抛物线或双曲线轨道是从无穷远来到无穷远去的轨道,不会绕中心天体旋转.所以开普勒定律作为行星运动的经验公式,只描述了椭圆.
2. ^ 对比式 1 会发现分母的正负号反了,这相当于把圆锥曲线旋转了 $180^\circ$,并不影响形状.

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