贡献者： 水铭; addis
1. 磁标势推导
\begin{equation}
\oint_L \boldsymbol{\mathbf{H}} \cdot \,\mathrm{d}{l} = \int_S \boldsymbol{\mathbf{J}} \cdot \,\mathrm{d}{S} ~.
\end{equation}
当 $S$ 内无电流亦环路 $L$ 内无电流时
\begin{equation}
\oint_ L \boldsymbol{\mathbf{H}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l = 0~.
\end{equation}
在该区域，有 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =0$，则在该区域内，磁场方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} =0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0( \boldsymbol{\mathbf{H}} + \boldsymbol{\mathbf{M}} )=f( \boldsymbol{\mathbf{H}} )~.
\end{equation}
的写法为函数形式因为在如铁磁性物质中，线性关系 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 不成立。
而 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的关系可以由磁滞回线确定。
把
式 5 代入
式 4 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{M}} ~.
\end{equation}
把分子电流看作由一对假想的磁荷组成的磁偶极子，则和电场中的 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} =-\rho _p$ 对应。
\begin{equation}
\rho_m=-\mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{M}} ~.
\end{equation}
因而 在 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} =0$ 区域内，由
式 3 式 6 式 7 开始微分方程可以写为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} =0 ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \dfrac{\rho_m}{\mu_0}~.
\end{equation}
对比与静电场微分方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} =\dfrac{\rho_f+\rho_p}{\epsilon}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} =0~.
\end{equation}
故而可以引入磁场标势
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} =- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \varphi_m~.
\end{equation}
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