磁标势

贡献者：水铭; addis

1. 磁标势推导

\begin{matrix} (1) & \oint_{L} H \cdot d l = \int_{S} J \cdot d S . \end{matrix}

当

S

内无电流亦环路

L

内无电流时

\begin{matrix} (2) & \oint_{L} H \cdot d l = 0 . \end{matrix}

在该区域，有

J = 0

，则在该区域内，磁场方程为

\begin{matrix} (3) & \nabla \times H = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \nabla \cdot B = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & B = μ_{0} (H + M) = f (H) . \end{matrix}

式 5 的写法为函数形式因为在如铁磁性物质中，线性关系

B = μ_{0} H

不成立。而

H

与

B

的关系可以由磁滞回线确定。把式 5 代入式 4 得

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot H = - \nabla \cdot M . \end{matrix}

把分子电流看作由一对假想的磁荷组成的磁偶极子，则和电场中的

\nabla \cdot P = - ρ_{p}

对应。

\begin{matrix} (7) & ρ_{m} = - μ_{0} \nabla \cdot M . \end{matrix}

因而在

J = 0

区域内，由式 3 式 6 式 7 开始微分方程可以写为

\begin{matrix} (8) & \nabla \times H = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \nabla \cdot H = \frac{ρ_{m}}{μ_{0}} . \end{matrix}

对比与静电场微分方程

\begin{matrix} (10) & \nabla \cdot E = \frac{ρ_{f} + ρ_{p}}{ϵ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \nabla \times E = 0 . \end{matrix}

故而可以引入磁场标势

\begin{matrix} (12) & H = - \nabla \cdot φ_{m} . \end{matrix}

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