分部积分的高维拓展

贡献者： addis

预备知识　矢量算符常用公式，牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

　　以下同一公式中所有体积分 $\int \dots d V$ 都是在某个有限区域 $V$ 进行，所有的曲面积分 $\int \dots d s$ 都在 $V$ 的边界 $S$ 上进行，正方向向外。

1. 标量分部积分

　　这是最接近一元函数分部积分的高维拓展

\begin{matrix} (1) & \int (\nabla f) g d V = \oint f g d s - \int f (\nabla g) d V . \end{matrix}

对于二维情况，面积分变为线积分，方向沿逆时针。一维情况就一元函数分部积分。

证明

　　把式 1 两边积分，移项得

\begin{matrix} (2) & \int (\nabla f) g d V = \int \nabla (f g) d V - \int f (\nabla g) d V . \end{matrix}

现在只需证明

\begin{matrix} (3) & \int \nabla (f g) d V = \oint f g d s, \end{matrix}

这由式 1 可证。证毕。

2. 矢量分部积分

\begin{matrix} (4) & \int f (\nabla \cdot A) d V = \oint f A \cdot d s - \int A \cdot (\nabla f) d V . \end{matrix}

参考 [1]，在电动力学中有应用（见 “电场的能量”）。

证明

　　把式 3 两边做体积分

\begin{matrix} (5) & \int \nabla \cdot (f A) d V = \int f (\nabla \cdot A) d V + \int A \cdot (\nabla f) d V . \end{matrix}

由散度定理，左边的体积分变为面积分

\oint f A \cdot d s

，移项得式 4 。证毕。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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