分部积分的高维拓展

             

预备知识 矢量算符常用公式,牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

   以下同一公式中所有体积分 $\int \dots \,\mathrm{d}{V} $ 都是在某个有限区域 $\mathcal V$ 进行,所有的曲面积分 $\int \dots \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ 都在 $\mathcal V$ 的边界 $\mathcal S$ 上进行,正方向向外.

1. 标量分部积分

   这是最接近一元函数分部积分的高维拓展

\begin{equation} \int ( \boldsymbol\nabla f) g \,\mathrm{d}{V} = \oint fg \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \int f ( \boldsymbol\nabla g) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
对于二维情况,面积分变为线积分,方向沿逆时针.一维情况就一元函数分部积分.

证明

   把式 1 两边积分,移项得

\begin{equation} \int ( \boldsymbol\nabla f) g \,\mathrm{d}{V} = \int \boldsymbol\nabla (fg) \,\mathrm{d}{V} - \int f ( \boldsymbol\nabla g) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
现在只需证明
\begin{equation} \int \boldsymbol\nabla (fg) \,\mathrm{d}{V} = \oint fg \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
这由式 1 可证.证毕.

2. 矢量分部积分

\begin{equation} \int f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} = \oint f \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
参考 [15],在电动力学中有应用(见 “电场的能量”).

证明

   把式 3 两边做体积分

\begin{equation} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} = \int f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{V} + \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
由散度定理,左边的体积分变为面积分 $\oint f \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $,移项得式 4 .证毕.

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