磁场中闭合电流的合力

贡献者： addis

预备知识　安培力，斯托克斯定理，静磁场的高斯定律，矢量算符运算法则

　　假设空间中有任意磁场 $B (r)$ ，无限细的闭合电流回路 $L$ 中有电流 $I$ ，则其受到的安培力可以用线积分表示为

\begin{matrix} (1) & F = - \oint I B (r) \times d r . \end{matrix}

电流方向若和积分方向相同，则取正，否则去负。

　　若磁场是匀强磁场，则立即得到

\begin{matrix} (2) & F = I (\oint d r) \times B = 0 . \end{matrix}

未完成：引用

\oint d r = 0

的出处

1. 证明

　　下面为了书写方便，使用 $x_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）代替 $x, y, z$ ，用 $F_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）代替 $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ ，以此类推。

　　若磁场是任意的，那么

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} F & = \oint_{L} I d r \times B \\ = \sum_{i} {\hat{x}}_{i} I \oint_{L} d r \times B \cdot {\hat{x}}_{i} \\ = \sum_{i} {\hat{x}}_{i} I \oint_{L} (B \times {\hat{x}}_{i}) \cdot d r \\ = \sum_{i} {\hat{x}}_{i} I \int_{Σ} \nabla \times (B \times {\hat{x}}_{i}) \cdot d s . \end{aligned} \end{matrix}

求和中

i = 1, 2, 3

，下同。其中用到了斯托克斯定理（式 1 ），

Σ

是以闭合曲线

L

为边界的曲面。上式中（式 6 ）

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \nabla \times (B \times {\hat{x}}_{i}) \\ = B (\nabla \cdot \hat{x}) + ({\hat{x}}_{i} \cdot \nabla) B - {\hat{x}}_{i} (\nabla \cdot B) - (B \cdot \nabla) {\hat{x}}_{i} \\ = (\hat{x} \cdot \nabla) B \\ = \frac{\partial B}{\partial x_{i}}, \end{aligned} \end{matrix}

这里用到了

\hat{x}

的任意微分为 0 以及

\nabla \cdot B = 0

的性质。对称地，将上式中的

\hat{x}

替换成

\hat{y}

和

\hat{z}

，等式也成立。所以

\begin{matrix} (5) & F = \sum_{i} {\hat{x}}_{i} I \int_{Σ} \frac{\partial B}{\partial x_{i}} \cdot d s . \end{matrix}

写成分量的形式，就是

\begin{matrix} (6) & F_{i} = I \int_{Σ} \frac{\partial B}{\partial x_{i}} \cdot d s . \end{matrix}

　　相关文章：“磁场中闭合电流的力矩”。

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