非齐次亥姆霍兹方程 推迟势

             

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预备知识 格林函数解线性非齐次微分方程

   对波动方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}
用格林函数法求解,令格林函数满足
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 G - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{G}}{\partial{t}^{2}} = - \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\delta (t - t') \end{equation}
这个方程的意义是,如果在时刻 $t$,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处出现一个极短的脉冲,会生成怎样的波函数 $G$.求出 $G$ 以后,我们可以把非齐次项 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 看成由许许多多这样的脉冲组成,对空间和时间进行积分.即可得到式 1 的解.
\begin{equation} u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \iint f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t')G( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t, \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t') \,\mathrm{d}{V'} \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
其中 $\int \,\mathrm{d}{V'} $ 表示对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 进行体积分.下文用傅里叶变换法解式 2 解出格林函数为
\begin{equation} G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t') = \frac{1}{4\pi} \frac{\delta [(t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c) - t']}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \end{equation}
式 4 式 3 式 1 的解为
\begin{equation} u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi } \int \frac{f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
式 5 与静电场的势能公式很像,但是场源的时间做了修正.其中 $t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c \equiv t_{ret}$ 定义为推迟时间(retarded time),$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c$ 是波从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 所需的时间.也就是说,$f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 并不能马上影响 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$,而是需要一个 “信号传播时间” 才行.在静电场中,由于场源不随时间变化,所以不需要考虑时间延迟.

1. 具体过程

解格林函数

   从物理意义上,要求格林函数在以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 为中心的任意方向都相同,即只是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $ 的函数.以下为了方便,令 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $. 由于等式右边除了原点外都是零,方程为齐次方程.齐次解为平面波

\begin{equation} G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum A( \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
求和是对所有满足 $\omega/k = c$ 和边界条件的 $\omega$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 求和(或积分).但显然该解在原点不满足要求.为了排除原点,且满足对称性,以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 为原点建立球坐标,改用球坐标中的拉普拉斯方程,方程变为
\begin{equation} \frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} \left(R^2 \frac{\mathrm{d}{G}}{\mathrm{d}{R}} \right) - \frac{1}{c^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -\delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\delta (t - t') \end{equation}
在 $R \ne 0$ 的条件下解齐次方程,首先分离变量,得到分离变量解 (提示:$\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{G}}{\mathrm{d}{r}} \right) = \frac1r \frac{\mathrm{d}^{2}{(rG)}}{\mathrm{d}{r}^{2}} $)
\begin{equation} \frac1R \left[C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} + C_2(\omega) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega R/c} \right] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
所以通解为式 8 对不同的 $\omega$ 求和.然而 $\omega$ 是连续的,所以改用傅里叶变换法解方程式 7
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &A(R, \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty } G(R, t, t') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{t} \\ &G(R,t, t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty } A(R, \omega) { \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}} \,\mathrm{d}{\omega} \end{aligned}\right. \end{equation}
式 9 就是式 8 对连续 $\omega$ 的求和(积分)得到的通解,待定系数包含在 $A$ 里面,下面的式 12 验证了这点.另外,式 7 右边含时 $\delta$ 函数的傅里叶变换为
\begin{equation} \delta (t - t') = \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} \end{equation}
式 9 式 10 代入方程式 7 得到经过时间傅里叶变换的偏微分方程,与式 7 等效.
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 A(R,\omega) + \frac{\omega^2}{c^2} A(R,\omega) = - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \end{equation}
注意这是关于位置的偏微分方程,$\omega$ 视为常数.解这条方程,就相当于解出了固定振动频率 $\omega$ 的波源所产生的同频率的波动方程.齐次解为(解方程提示:$\frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} \left(R^2 \frac{\mathrm{d}{A}}{\mathrm{d}{R}} \right) = \frac1R \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{R}^{2}} (RA)$,令 $\frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} (R^2 \frac{\mathrm{d}{A}}{\mathrm{d}{R}} ) = \frac1R \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{R}^{2}} \,\mathrm{d}{(RA)} $)
\begin{equation} A(R, \omega) = \frac1R \left[C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} + C_2(\omega) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega R/c} \right] \end{equation}
由于这是方程 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \ne \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的通解,而式 11 的右边可以看做 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 时的边界条件,接下来利用边界条件找到适合的待定系数 $C_1(\omega)$ 和 $C_2(\omega)$. 首先当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \to \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 时,$R \to 0$,$A \to (C_1 + C_2)/R$.所以
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 A(R, \omega) = (C_1 + C_2) \boldsymbol{\nabla}^2 \frac1R = - 4\pi (C_1 + C_2) \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \end{equation}
(关于 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \frac1R$ 见空间狄拉克 $delta$ 函数,).代入式 11 左边第一项,得
\begin{equation} -4\pi (C_1 + C_2) \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') + \frac{\omega^2}{c^2} A(R, \omega) = - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \end{equation}
由于空间 delta 函数 $\delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \sim \frac{1}{R^3}$,所以相比之下 $\omega ^2 A(R, \omega)/c^2 \sim 1/R$ 在 $R \to 0$ 时可以忽略不计.等式两边对比系数得
\begin{equation} C_1 + C_2 = \frac{1}{4\pi} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \end{equation}
再考虑式 12 所代表的波函数分量,第一项代表波源向外传播的球形波,第二项代表向波源传播的,所以 $C_2 = 0$,式 12 变为
\begin{equation} A(R, \omega) = \frac1R C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} = \frac{1}{4\pi R} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} \end{equation}
现在可以把上式进行反傅里叶变换式 9 得到格林函数
\begin{equation} \begin{aligned} G(R, t, t') &= \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty} A(R,\omega) \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{4\pi R} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} \\ &= \frac{1}{4\pi R} \cdot \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega (t' + R/c - t)} \,\mathrm{d}{\omega} = \frac{1}{4\pi R}\delta (t - R/c - t')\\ &= \frac{1}{4\pi }\frac{\delta [(t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c) - t']}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \end{aligned} \end{equation}
这就是式 2 的解式 4

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