非齐次亥姆霍兹方程、推迟势

                     

贡献者: addis; _Eden_

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预备知识 格林函数解线性非齐次微分方程

   对波动方程

(1)2u1c22ut2=f(r,t) .
用格林函数法求解,令格林函数满足
(2)2G1c22Gt2=δ(rr)δ(tt) .
这个方程的意义是,如果在时刻 tr 处出现一个极短的脉冲,会生成怎样的波函数 G。求出 G 以后,我们可以把非齐次项 f(r,t) 看成由许许多多这样的脉冲组成,对空间和时间进行积分。即可得到式 1 的解。
(3)u(r,t)=f(r,t)G(r,t,r,t)dVdt ,
其中 dV 表示对 r 进行体积分。下文用傅里叶变换法解式 2 解出格林函数为
(4)G(r,t,r,t)=14πδ[(t|rr|/c)t]|rr| .
式 4 式 3 式 1 的解为
(5)u(r,t)=14πf(r,t|rr|/c)|rr|dV .
式 5 与静电场的势能公式很像,但是场源的时间做了修正。其中 t|rr|/ctret 定义为推迟时间(retarded time)|rr|/c 是波从 rr 所需的时间。也就是说,f(r,t) 并不能马上影响 u(r,t),而是需要一个 “信号传播时间” 才行。在静电场中,由于场源不随时间变化,所以不需要考虑时间延迟。

1. 具体过程

解格林函数

   从物理意义上,要求格林函数在以 r 为中心的任意方向都相同,即只是 |rr| 的函数。以下为了方便,令 R=|rr|。 由于等式右边除了原点外都是零,方程为齐次方程。齐次解为平面波

(6)G(r,t)=A(k,ω)eikreiωt ,
求和是对所有满足 ω/k=c 和边界条件的 ωk 求和(或积分)。但显然该解在原点不满足要求。为了排除原点,且满足对称性,以 r 为原点建立球坐标,改用球坐标中的拉普拉斯方程,方程变为
(7)1R2ddR(R2dGdR)1c2d2Gdt2=δ(rr)δ(tt) .
R0 的条件下解齐次方程,首先分离变量,得到分离变量解 (提示:1r2ddr(r2dGdr)=1rd2(rG)dr2
(8)1R[C1(ω)eiωR/c+C2(ω)eiωR/c]eiωt ,
所以通解为式 8 对不同的 ω 求和。然而 ω 是连续的,所以改用傅里叶变换法解方程式 7
(9){A(R,ω)=+G(R,t,t)eiωtdtG(R,t,t)=12π+A(R,ω)eiωtdω .
式 9 就是式 8 对连续 ω 的求和(积分)得到的通解,待定系数包含在 A 里面,下面的式 12 验证了这点。另外,式 7 右边含时 δ 函数的傅里叶变换为
(10)δ(tt)=12π+eiωteiωtdω .
式 9 式 10 代入方程式 7 得到经过时间傅里叶变换的偏微分方程,与式 7 等效。
(11)2A(R,ω)+ω2c2A(R,ω)=eiωtδ(rr) .
注意这是关于位置的偏微分方程,ω 视为常数。解这条方程,就相当于解出了固定振动频率 ω 的波源所产生的同频率的波动方程。齐次解为(解方程提示:1R2ddR(R2dAdR)=1Rd2dR2(RA),令 1R2ddR(R2dAdR)=1Rd2dR2d(RA)
(12)A(R,ω)=1R[C1(ω)eiωR/c+C2(ω)eiωR/c] .
由于这是方程 rr 的通解,而式 11 的右边可以看做 r=r 时的边界条件,接下来利用边界条件找到适合的待定系数 C1(ω)C2(ω)。 首先当 rr 时,R0A(C1+C2)/R。所以
(13)2A(R,ω)=(C1+C2)21R=4π(C1+C2)δ(rr) .
(关于 21R 见空间狄拉克 delta 函数,)。代入式 11 左边第一项,得
(14)4π(C1+C2)δ(rr)+ω2c2A(R,ω)=eiωtδ(rr) .
由于空间 delta 函数 δ(rr)1R3,所以相比之下 ω2A(R,ω)/c21/RR0 时可以忽略不计。等式两边对比系数得
(15)C1+C2=14πeiωt ,
再考虑式 12 所代表的波函数分量,第一项代表波源向外传播的球形波,第二项代表向波源传播的,所以 C2=0式 12 变为
(16)A(R,ω)=1RC1(ω)eiωR/c=14πReiωteiωR/c .
现在可以把上式进行反傅里叶变换式 9 得到格林函数
(17)G(R,t,t)=12π+A(R,ω)eiωtdω=12π+14πReiωteiωR/cδ(rr)eiωtdω=14πR12π+eiω(t+R/ct)dω=14πRδ(tR/ct)=14πδ[(t|rr|/c)t]|rr| .
这就是式 2 的解式 4


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