贡献者： addis; _Eden_
对波动方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~.
\end{equation}
用格林函数法求解，令格林函数满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 G - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{G}}{\partial{t}^{2}} = - \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\delta (t - t')~.
\end{equation}
这个方程的意义是，如果在时刻 $t$，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处出现一个极短的脉冲，会生成怎样的波函数 $G$。求出 $G$ 以后，我们可以把非齐次项 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 看成由许许多多这样的脉冲组成，对空间和时间进行积分。即可得到
式 1 的解。
\begin{equation}
u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \iint f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t')G( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t, \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t') \,\mathrm{d}{V'} \,\mathrm{d}{t'} ~,
\end{equation}
其中 $\int \,\mathrm{d}{V'} $ 表示对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 进行体积分。下文用傅里叶变换法解
式 2 解出格林函数为
\begin{equation}
G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t, \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t') = \frac{1}{4\pi} \frac{\delta [(t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c) - t']}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }~.
\end{equation}
，
式 3 得
式 1 的解为
\begin{equation}
u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi } \int \frac{f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
与静电场的势能公式很像，但是场源的时间做了修正。其中 $t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c \equiv t_{ret}$ 定义为
推迟时间（retarded time），$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c$ 是波从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 所需的时间。也就是说，$f( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 并不能马上影响 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$，而是需要一个 “信号传播时间” 才行。在静电场中，由于场源不随时间变化，所以不需要考虑时间延迟。
1. 具体过程
解格林函数
从物理意义上，要求格林函数在以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 为中心的任意方向都相同，即只是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $ 的函数。以下为了方便，令 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $。
由于等式右边除了原点外都是零，方程为齐次方程。齐次解为平面波
\begin{equation}
G( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \sum A( \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} ~,
\end{equation}
求和是对所有满足 $\omega/k = c$ 和边界条件的 $\omega$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 求和（或积分）。但显然该解在原点不满足要求。为了排除原点，且满足对称性，以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 为原点建立球坐标，改用球坐标中的拉普拉斯方程，方程变为
\begin{equation}
\frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} \left(R^2 \frac{\mathrm{d}{G}}{\mathrm{d}{R}} \right) - \frac{1}{c^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{G}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -\delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')\delta (t - t')~.
\end{equation}
在 $R \ne 0$ 的条件下解齐次方程，首先分离变量，得到分离变量解
（提示：$\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{G}}{\mathrm{d}{r}} \right) = \frac1r \frac{\mathrm{d}^{2}{(rG)}}{\mathrm{d}{r}^{2}} $）
\begin{equation}
\frac1R \left[C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} + C_2(\omega) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega R/c} \right] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
所以通解为
式 8 对不同的 $\omega$ 求和。然而 $\omega$ 是连续的，所以改用傅里叶变换法解方程
式 7
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&A(R, \omega) = \int_{-\infty}^{+\infty } G(R, t, t') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{t} \\
&G(R,t, t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty } A(R, \omega) { \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}} \,\mathrm{d}{\omega} ~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
就是
式 8 对连续 $\omega$ 的求和（积分）得到的通解，待定系数包含在 $A$ 里面，下面的
式 12 验证了这点。另外，
式 7 右边含时 $\delta$ 函数的傅里叶变换为
\begin{equation}
\delta (t - t') = \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} ~.
\end{equation}
，
式 10 代入方程
式 7 得到经过时间傅里叶变换的偏微分方程，与
式 7 等效。
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 A(R,\omega) + \frac{\omega^2}{c^2} A(R,\omega) = - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')~.
\end{equation}
注意这是关于位置的偏微分方程，$\omega$ 视为常数。解这条方程，就相当于解出了固定振动频率 $\omega$ 的波源所产生的同频率的波动方程。齐次解为（解方程提示：$\frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} \left(R^2 \frac{\mathrm{d}{A}}{\mathrm{d}{R}} \right) = \frac1R \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{R}^{2}} (RA)$，令 $\frac{1}{R^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{R}} (R^2 \frac{\mathrm{d}{A}}{\mathrm{d}{R}} ) = \frac1R \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{R}^{2}} \,\mathrm{d}{(RA)} $）
\begin{equation}
A(R, \omega) = \frac1R \left[C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} + C_2(\omega) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega R/c} \right] ~.
\end{equation}
由于这是方程 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \ne \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的通解，而
式 11 的右边可以看做 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 时的边界条件，接下来利用边界条件找到适合的待定系数 $C_1(\omega)$ 和 $C_2(\omega)$。
首先当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \to \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 时，$R \to 0$，$A \to (C_1 + C_2)/R$。所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 A(R, \omega) = (C_1 + C_2) \boldsymbol{\nabla}^2 \frac1R = - 4\pi (C_1 + C_2) \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')~.
\end{equation}
（关于 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \frac1R$ 见空间狄拉克 $delta$ 函数，）。代入
式 11 左边第一项，得
\begin{equation}
-4\pi (C_1 + C_2) \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') + \frac{\omega^2}{c^2} A(R, \omega) = - \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')~.
\end{equation}
由于空间 delta 函数 $\delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \sim \frac{1}{R^3}$，所以相比之下 $\omega ^2 A(R, \omega)/c^2 \sim 1/R$ 在 $R \to 0$ 时可以忽略不计。等式两边对比系数得
\begin{equation}
C_1 + C_2 = \frac{1}{4\pi} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'}~,
\end{equation}
再考虑
式 12 所代表的波函数分量，第一项代表波源向外传播的球形波，第二项代表向波源传播的，所以 $C_2 = 0$，
式 12 变为
\begin{equation}
A(R, \omega) = \frac1R C_1(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} = \frac{1}{4\pi R} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c}~.
\end{equation}
现在可以把上式进行反傅里叶变换
式 9 得到格林函数
\begin{equation} \begin{aligned}
G(R, t, t') &= \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty} A(R,\omega) \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{4\pi R} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t'} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega R/c} \delta ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \mathrm{e} ^{ - \mathrm{i} \omega t} \,\mathrm{d}{\omega} \\
&= \frac{1}{4\pi R} \cdot \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega (t' + R/c - t)} \,\mathrm{d}{\omega}
= \frac{1}{4\pi R}\delta (t - R/c - t')\\
&= \frac{1}{4\pi }\frac{\delta [(t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c) - t']}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }~.
\end{aligned} \end{equation}
这就是
式 2 的解
式 4 。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。