非齐次亥姆霍兹方程、推迟势
贡献者: addis; _Eden_
对波动方程
用格林函数法求解,令格林函数满足
这个方程的意义是,如果在时刻 , 处出现一个极短的脉冲,会生成怎样的波函数 。求出 以后,我们可以把非齐次项 看成由许许多多这样的脉冲组成,对空间和时间进行积分。即可得到
式 1 的解。
其中 表示对 进行体积分。下文用傅里叶变换法解
式 2 解出格林函数为
式 4 ,
式 3 得
式 1 的解为
式 5 与静电场的势能公式很像,但是场源的时间做了修正。其中 定义为
推迟时间(retarded time), 是波从 到 所需的时间。也就是说, 并不能马上影响 ,而是需要一个 “信号传播时间” 才行。在静电场中,由于场源不随时间变化,所以不需要考虑时间延迟。
1. 具体过程
解格林函数
从物理意义上,要求格林函数在以 为中心的任意方向都相同,即只是 的函数。以下为了方便,令 。
由于等式右边除了原点外都是零,方程为齐次方程。齐次解为平面波
求和是对所有满足 和边界条件的 和 求和(或积分)。但显然该解在原点不满足要求。为了排除原点,且满足对称性,以 为原点建立球坐标,改用球坐标中的拉普拉斯方程,方程变为
在 的条件下解齐次方程,首先分离变量,得到分离变量解
(提示:)
所以通解为
式 8 对不同的 求和。然而 是连续的,所以改用傅里叶变换法解方程
式 7
式 9 就是
式 8 对连续 的求和(积分)得到的通解,待定系数包含在 里面,下面的
式 12 验证了这点。另外,
式 7 右边含时 函数的傅里叶变换为
式 9 ,
式 10 代入方程
式 7 得到经过时间傅里叶变换的偏微分方程,与
式 7 等效。
注意这是关于位置的偏微分方程, 视为常数。解这条方程,就相当于解出了固定振动频率 的波源所产生的同频率的波动方程。齐次解为(解方程提示:,令 )
由于这是方程 的通解,而
式 11 的右边可以看做 时的边界条件,接下来利用边界条件找到适合的待定系数 和 。
首先当 时,,。所以
(关于 见空间狄拉克 函数,)。代入
式 11 左边第一项,得
由于空间 delta 函数 ,所以相比之下 在 时可以忽略不计。等式两边对比系数得
再考虑
式 12 所代表的波函数分量,第一项代表波源向外传播的球形波,第二项代表向波源传播的,所以 ,
式 12 变为
现在可以把上式进行反傅里叶变换
式 9 得到格林函数
这就是
式 2 的解
式 4 。
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