矢量算符运算法则

                     

贡献者: addis

  • 每个等式给出一些百科中应用的链接
预备知识 梯度,旋度,列维—奇维塔符号

  1这里列举一些常用的矢量算符恒等式,证明见文末。

1. 一阶导数

梯度

(1)(fg)=fg+gf ,
(2)(AB)=A×(×B)+B×(×A)+(A)B+(B)A .

散度

(3)(fA)=f(A)+A(f) ,
(4)(A×B)=B(×A)A(×B) .

旋度

(5)×(fA)=f(×A)+(f)×A ,
(6)×(A×B)=(B)A(A)B+A(B)B(A) .

2. 二阶导数

(7)(f)=2f ,
(8)2(fv)=(2f)v+f2v+2(f)v ,
(9)×(f)=0 ,
(10)(×v)=0 ,
(11)×(×v)=(v)2v .

3. 复合函数求导

   使用链式法则容易证明以下关系

(12)f[g(r)]=f[g(r)]g(r) ,
(13)f[g(r)]=f[g(r)]g(r) ,
(14)×f[g(r)]=[g(r)]×f[g(r)] ,
(15)2f[g(r)]=f[g(r)](g)2+f[g(r)]2g(r) .

4. 证明

   理论上,我们可以直接根据定义,将各个矢量记为分量的形式证明,但直接写出来非常繁琐。一种简单的记号是使用克罗内克 delta 函数 δi,jLevi-Civita 符号 ϵi,j,k,再结合爱因斯坦求和约定证明。

   我们另外推荐一种不需要写出分量的推导方法,见 “一种矢量算符的运算方法”。


1. ^ 参考 [1] 相关章节。


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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