矢量算符运算法则

             

  • 本词条需要更多讲解,便于帮助理解.
预备知识 梯度,旋度,列维—奇维塔符号

  1这里列举一些常用的矢量算符恒等式.

1. 一阶导数

梯度

\begin{equation} \boldsymbol\nabla (fg) = f \boldsymbol\nabla g + g \boldsymbol\nabla f \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}

散度

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol\nabla f) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) - \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}

旋度

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (f \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = f ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + ( \boldsymbol\nabla f) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{A}} - ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{equation}

2. 二阶导数

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla f) = \boldsymbol{\nabla}^2 f \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 (f \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}^2 f) \boldsymbol{\mathbf{v}} + f \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{v}} + 2 ( \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol\nabla f) = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = 0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

3. 复合函数求导

   使用链式法则容易证明以下关系

\begin{equation} \boldsymbol\nabla f[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = f'[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\nabla g( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} [g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = \boldsymbol{\mathbf{f}} '[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla g( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} [g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = \left[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} g( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right] \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{f}} '[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 f[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] = f''[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] ( \boldsymbol\nabla g)^2 + f'[g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol{\nabla}^2 g( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

4. 证明

   理论上,我们可以直接根据定义,将各个矢量记为分量的形式证明,但直接写出来非常繁琐.一种简单的记号是使用狄拉克 delta 函数 $\delta_{i,j}$ 和 Levi-Civita 符号 $\epsilon_{i,j,k}$,再结合爱因斯坦求和约定证明.

   我们另外推荐一种不需要写出分量的推导方法,见 “一种矢量算符的运算方法”.


1. ^ 参考 [15] 相关章节.

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