动态电磁场问题（总结）

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　静电场与静磁场（摘要）

1. 电磁感应

　　在理论与现实的诘难下¹，法拉第与麦克斯韦等人前仆后继地提出了电磁感应定律，即耳熟能详的 “磁生电、电生磁”。电磁感应定律引入了两个含时项，如下表所示：

图 1：不大严谨的电磁感应示意图

表1：电场与磁场的旋度（无源）

电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $

磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $

$$\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = -\int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~$$ 法拉第定律：变化的磁场感应出电场；楞次定律：$- \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} $ 前的负号，代表一种阻碍作用

$$ \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~$$ 安培-麦克斯韦定律：变化的电场感应出磁场

　　这两个含时项的内涵远比他表面上看起来的深远，所有对于变化电磁场的理解，从光学到电路到无线通信，都离不开这两个含时项。可以说，这两个含时项直接翻开了人类历史的新篇章，以及电动力学的后大半本书。

2. Maxwell 方程

　　结合电磁感应定律与原有的静场方程，我们就得到了如雷贯耳的 Maxwell 方程组：

表2：Maxwell 方程组

	电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $	磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
散度方程	$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~$$	$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~$$
旋度方程	$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~$$	$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~$$

　　 Maxwell 方程组的这四个方程是电动力学的根基。

　　现在，在 Maxwell 方程组的加持下，原则上我们不仅能处理静场问题，还能处理各种动态问题，包括那些场源也在随时间变化的问题，正所谓电 “动” 力学（电磁感应定律似乎没有直接提及场源的变化如何导致电磁场的变化，但 Maxwell 方程组确实能处理这个问题）。

3. 势

表3：电势与磁势

*	电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $	磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
势与场	$$ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~$$	$$ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$$
势的任意性，“规范”；$\lambda$ 是同一标量函数	$$\varphi += - \frac{\partial \lambda}{\partial t} ~$$	$$ \boldsymbol{\mathbf{A}} += \boldsymbol\nabla \lambda~$$ $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的取值可被控制
势的方程；达朗贝尔方程	$$ \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~$$ (洛伦兹规范)	$$ \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~.$$ (洛伦兹规范)
场源导致的势；推迟势	$$\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t-\frac{R}{c})}{R} \,\mathrm{d}{V} '~.$$ (洛伦兹规范) $c$ 指光速	$$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t-\frac{R}{c})}{R} \,\mathrm{d}{V'} ~.$$ (洛伦兹规范)

　　洛伦兹规范：取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~$。

势

　　在动态问题中，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 不再是无旋场，因此不能按照套路定义标势；但是，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 仍然是无散的，因此仍可定义磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$。将磁矢势的方程带入 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} $，发现 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} }} \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} = - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \Rightarrow \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ) = 0$，即 $( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} )$ 这个奇怪的组合作为整体是无旋的，自然可为其定义一个标势 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \varphi$，即有 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} $。

　　由此，我们推广了势的含义，从而得到了动态问题中的势。

势的规范变换；洛伦兹规范

　　同静场问题一样，势的取值依旧具有任意性，只是此时电势与磁势得此消彼长：在磁势加上 $ \boldsymbol\nabla \lambda$ 的同时，电势得加上 $ - \frac{\partial \lambda}{\partial t} $，才能再得到相同的场。

　　同样地，我们可以做规范变换；不过与静场问题不同，我们一般不选取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$（库伦规范），反而选取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~$（洛伦兹规范）。尽管洛伦兹规范形式上看起来更复杂，但它使势的达朗贝尔方程高度对称、简明（见下）。

达朗贝尔方程；推迟势

　　将势的表达形式代回 Maxwell 方程组、选取洛伦兹规范，并运用一些数学技巧，就能得到达朗贝尔方程组。达朗贝尔方程组之于势，犹如 Maxwell 方程组之于场。或许你已经注意到，达朗贝尔方程形式上是一个波动方程。

　　根据达朗贝尔方程，我们可以解出势对动态场源的响应的方程（你可以根据格林函数法从达朗贝尔方程推导²，或者将其带回达朗贝尔方程检验 [1]，不过两种方法都十分艰难）。现在，无论是势还是源都是含时的：这无可厚非，因为动态问题中场源是变化的，而势为了响应动态变化的场源，自然也必须是动态的。

　　看起来，动态问题中的势只不过是比静场问题中的势形式上多了一个含时项。但问题远非如此简单，正如显式写出的那样，场源与场点所含的 “时” 是不同的：场点的 “时” 是 $t$，而场源的 “时” 是 $(t-\frac{R}{c})$ (如果你忘记了，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $ 是场源到场点的距离)，二者相差一个 $(-\frac{R}{c})$ 的延时。这是为什么？这就涉及到近代物理中一个不可回避的重要观点：信息传递不是及时的，而是需要时间的，并且传递速度是光速 $c$。

　　举个例子，$t=t_0$ 时刻的场点，能够感受到 $R$ 距离之外场点 $t=t_0$ 时的及时信息吗？不能，因为信息传递是需要时间的、$t=t_0$ 时刻场源的信息还没被发送到场点。场点能知道的，只是 $\frac{R}{c}$ 前，即 $t=t_0-\frac{R}{c}$ 时刻场源的信息。这就引出了推迟势的概念。有时定义推迟时刻 $t_r = t - \frac{R}{c}$。

　　要记住，$t_r = t-\frac{R}{c} = t-\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }{c}$ 是含 $R$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的。对于同一个场点，各个场源的 $t_r = t - \frac{R}{c}$ 仍是不同的，因为场点到各个场源的距离 $R$ 是不同的。

图 2：源->势->场

运动电荷的电磁场

　　最后，我们能不能像处理静场问题中的点电荷一样，根据这些知识处理一个运动点电荷的电磁场？答案当然是可以，但是由于晦涩难懂的推迟势问题，即使是最简单的匀速运动电荷的电场也异常繁杂，此处不再Ctrl+V。具体请参考李纳-维谢尔势与带电粒子的辐射。

　　尽管动态问题中的势看起来只比静场问题中的势多了一个含时项，但如果你试图对场的方程做同样操作，你将得不到正确的场，正确的形式可参考杰斐缅柯方程 [1]。

4. 电磁场的 “物质性”

　　在上文中，我们知道了信息在电磁场中传递是需要时间的。这似乎让我们察觉到电磁场如同一种 “信使”、具有某种物质含义。接下来，我们会论证电磁场自己的能量、动量以及角动量，这让你更充分地感受到电磁场的 “物质性”。

电磁场能量及密度

表4：电磁场能量及密度

	电场	磁场
源-势	$$ U = \frac{1}{2}\sum q_i \varphi_i = \frac{1}{2} \int \rho \varphi \,\mathrm{d}{V} ~$$	$$U = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} \,\mathrm{d}{V} ~$$
场	$$U=\frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 \,\mathrm{d}{V} ~$$ $$u = \frac{\epsilon_0}{2} E^2~$$	$$U=\frac{1}{2\mu_0} \int B^2 \,\mathrm{d}{V} ~$$ $$u=\frac{1}{2\mu_0} B^2~$$

能量与能量流

　　考虑一个小区域内广义洛伦兹力对电荷做功，这将改变电荷的机械动能： $$ \begin{aligned} \frac{\partial u_{mech}}{\partial t} &= \boldsymbol{\mathbf{f}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} \\ & = \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot (\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} )\\ & = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\ & = \frac{1}{\mu_0} (- \boldsymbol{\mathbf{B}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ))- \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\ & = - (\frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial B^2}{\partial t} + \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{\partial E^2}{\partial t} ) - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\ & = - \frac{\partial }{\partial t} (\frac{1}{2\mu_0} B^2 + \frac{\varepsilon_0}{2} E^2) - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned} ~. $$

　　注意到 $(\frac{1}{2\mu_0} B^2 + \frac{\varepsilon_0}{2} E^2) = u_{emf}$ 就是我们以前知道的电磁场能量密度。电荷系统中所谓 “系统的电势能” 其实就是暗藏在电场的能量。

　　将上式重新整理，我们得到 $$ - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \frac{\partial u_{mech}}{\partial t} + \frac{\partial u_{emf}}{\partial t} ~, $$ 类比电荷守恒方程 $- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{\partial \rho}{\partial t} $，其中的物理意义已经很显然了，这个方程告诉我们流入区域的 $\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ (负号代表流入) 将转换为粒子的机械动能与电磁场的能量，那么 $ \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 应该是某种与电磁场能量有关的流。由此，我们将其定义为 Poynting 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，代表电磁场能流密度。 $$ \boldsymbol{\mathbf{S}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. $$

动量与动量流

　　具体可参考电磁场的动量守恒、动量流密度张量。

角动量

　　具体可参考 [1]。

1. ^ 理论的诘难是，如果你对静磁旋度方程两边取旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} $，你会发现 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} $，根据矢量运算法则，这意味着 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0$，与电荷守恒方程 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial q}{\partial t} = 0$ 矛盾；现实的诘难是，人们发现在变化磁场中的线圈中会产生电流，而这是无法靠洛伦兹力公式解释的：磁场不能驱动静止的电荷，也不能对其做功。
2. ^ 比如参考周磊教授的《电动力学讲义》

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed