法拉第电磁感应定律

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识 1　磁通量

1. 电磁感应定律的积分形式

　　我们在高中物理学过，闭合线圈产生的感生电动势等于线圈内磁通量随时间的变化率。方向由右手定则决定。即

\begin{matrix} (1) & ε = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d a = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d a . \end{matrix}

这里的

a

表示面积，积分的曲面是以线圈为边界的任意曲面。另一方面，感生电动势是由感生电场产生的。

\begin{matrix} (2) & ε = \oint E \cdot d r . \end{matrix}

这里的路径积分是沿着线圈进行的。规定线圈正方向以后，式 1 中曲面的正方向由右手定则决定。

　　根据麦克斯韦方程组，电场产生的原因有两种，一种是电荷产生电场（电场的高斯定律），另一种是变化的磁场产生电场（法拉第电磁感应）。前者在式 2 中的环路积分为零，对电动势没有贡献。所以式 2 中的 $E$ 既可以只包含感生电场，也可以是总电场。我们一般理解为总电场。

　　对比上面两式，得

\begin{matrix} (3) & \oint E \cdot d r = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d a . \end{matrix}

如果我们假设感生电场只与电场的分布和变化率有关，则这个公式对空间中任何假想中的回路都成立，而不需要有真正的线圈存在。注意上式中的磁场是空间中的所有磁场。

预备知识 2　斯托克斯定理

　　对电场项应用斯托克斯定理，

\begin{matrix} (4) & \oint E \cdot d r = \int \nabla \times E \cdot d a . \end{matrix}

代回积分方程式 3 ，得

\begin{matrix} (5) & \int \nabla \times E \cdot d a = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d a . \end{matrix}

　　由于该公式对于所有回路均成立，所以

\begin{matrix} (6) & \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} . \end{matrix}

　　由电磁感应定律可以得出楞次定律（Lenz's law）。它能够确定由电磁感应产生的电动势的方向，即感应电流产生的磁场总是与外磁场变化的方向相反。