贡献者： addis; ACertainUser
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1. 电磁感应定律的积分形式
我们在高中物理学过，闭合线圈产生的感生电动势 等于线圈内磁通量随时间的变化率。方向由右手定则决定。即
\begin{equation}
\varepsilon = - \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = - \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~.
\end{equation}
这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 表示面积，积分的曲面是以线圈为边界的任意曲面。另一方面，感生电动势是由感生电场产生的。
\begin{equation}
\varepsilon = \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
这里的路径积分是沿着线圈进行的。规定线圈正方向以后，
式 1 中曲面的正方向由右手定则
决定。
根据麦克斯韦方程组，电场产生的原因有两种，一种是电荷产生电场（电场的高斯定律），另一种是变化的磁场产生电场（法拉第电磁感应）。前者在式 2 中的环路积分为零，对电动势没有贡献。所以式 2 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 既可以只包含感生电场，也可以是总电场。我们一般理解为总电场。
对比上面两式，得
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = - \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~.
\end{equation}
如果我们假设感生电场只与电场的分布和变化率有关，则这个公式对空间中任何假想中的回路都成立，而不需要有真正的线圈存在。注意上式中的磁场是空间中的所有磁场。
2. 电磁感应定律的微分形式
对电场项应用斯托克斯定理，
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~.
\end{equation}
代回积分方程
式 3 ，得
\begin{equation}
\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = - \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~.
\end{equation}
由于该公式对于所有回路均成立，所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
3. 楞次定律
由电磁感应定律可以得出楞次定律（Lenz's law）。它能够确定由电磁感应产生的电动势的方向，即感应电流产生的磁场总是与外磁场变化的方向相反。