位移电流、安培—麦克斯韦公式
贡献者： addis; ACertainUser
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1在法拉第电磁感应定律中，我们已经知道了 “变化的磁场会产生电场”；那么反过来，“变化的电场也会产生磁场” 吗？充满着简洁与对称美的电动力学给出了肯定的答案。
图 1：“变化的电场产生磁场”示意图
为了体现 “变化的电场也会产生磁场”，我们必须在静电学的安培环路定律补充一项，使之由
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I~,
\end{equation}
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~.
\end{equation}
根据斯托克斯定理，还可将其写为微分形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
1. 位移电流
由于一些历史原因，可定义位移电流（displacement current）为：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} _d = \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} _d)~.
\end{equation}
2. 广义安培环路定律与电荷守恒
那么，我们为什么可以这么推广安培环路定律呢？我们可以从一些思想实验 ，或者电荷守恒中得到启发与思路。以下我们简要说明电荷守恒如何启发我们得到广义安培环路定律。
注意，广义安培环路定律事实上已是电动力学的基本假设之一（他的成立是学科的公理，而不是由其他的定理得到），所以以下的说明并不是真正的推导。
静电学中的安培环路定律为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~,
\end{equation}
由电荷连续性方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) = 0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{equation}