麦克斯韦方程组
贡献者： addis
1麦克斯韦方程组（Maxwell's Equation）可以看作电动力学的基本假设，它描述了经典电磁理论中电荷如何影响电磁场，以及电磁场变化的规律。它有多种不同的表示方法，本文中讨论的是多数学科工作中常用的形式，理论物理中的外微分形式见 “麦克斯韦方程组（外微分形式）”。
1. 微分形式
麦克斯韦方程组共有四条方程
\begin{align}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{align}
其中
式 1 到
式 4 分别是
电场的高斯定律，
法拉第电磁感应定律，
磁场的高斯定律，
安培环路定律（含
位移电流）。
高斯单位制中的麦克斯韦方程组更为对称（式 5 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 4\pi\rho~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意电场和磁场的公式仍然不是完全对称的。可以通过引入磁单极子使它们完全对称（
式 3 ）。
麦克斯韦方程组完整地描述了经典电磁场的变化规律，那么一个自然的问题是：若已知一个矢量场的散度和旋度，是否能唯一确定该矢量场？一般答案是不能，因为还可以叠加一个任意调和场（见 “亥姆霍兹分解”）。但如果加上边界条件（如该矢量场在无穷远处趋于零），那么就可以唯一确定，见散度的逆运算和旋度的逆运算。
2. 积分形式
麦克斯韦方程组的积分和微分形式是完全等价的，可以通过散度定理和斯托克斯定理互相转换。
\begin{align}
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= \frac{1}{\epsilon_0}\int \rho \,\mathrm{d}{V} ~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= -\int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= 0~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= \mu_0 \int \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{align}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。