麦克斯韦方程组

贡献者： addis

预备知识　磁场的高斯定律，位移电流

　　¹麦克斯韦方程组（Maxwell's Equation）可以看作电动力学的基本假设，它描述了经典电磁理论中电荷如何影响电磁场，以及电磁场变化的规律。它有多种不同的表示方法，本文中讨论的是多数学科工作中常用的形式，理论物理中的外微分形式见 “麦克斯韦方程组（外微分形式）”。

1. 微分形式

　　麦克斯韦方程组共有四条方程

\begin{aligned} (1) & \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \\ (2) & \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ (3) & \nabla \cdot B = 0, \\ (4) & \nabla \times B = μ_{0} j + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} . \end{aligned}

　　高斯单位制中的麦克斯韦方程组更为对称（式 5 ）

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \nabla \cdot E = 4 π ρ, \\ \nabla \times E = - \frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times B = \frac{4 π}{c} j + \frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

注意电场和磁场的公式仍然不是完全对称的。可以通过引入磁单极子使它们完全对称（式 3 ）。

　　麦克斯韦方程组完整地描述了经典电磁场的变化规律，那么一个自然的问题是：若已知一个矢量场的散度和旋度，是否能唯一确定该矢量场？一般答案是不能，因为还可以叠加一个任意调和场（见 “亥姆霍兹分解”）。但如果加上边界条件（如该矢量场在无穷远处趋于零），那么就可以唯一确定，见散度的逆运算和旋度的逆运算。

　　麦克斯韦方程组的积分和微分形式是完全等价的，可以通过散度定理和斯托克斯定理互相转换。

\begin{aligned} (6) & \oint E \cdot d s & = \frac{1}{ϵ_{0}} \int ρ d V . \\ (7) & \oint E \cdot d l & = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d s . \\ (8) & \oint B \cdot d s & = 0 . \\ (9) & \oint B \cdot d l & = μ_{0} \int j \cdot d s + μ_{0} ϵ_{0} \int \frac{\partial E}{\partial t} \cdot d s . \end{aligned}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。