贡献者： ACertainUser; addis
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介质中的麦克斯韦方程：
\begin{equation} \begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho_f~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = J_f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ~.
\end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 为 “电位移矢量”，$ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 为 “磁场强度”2，$\rho_f$ 是自由电荷，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} _f$ 是自由电流3. 根据"电介质 "与"磁介质"的物理模型，他们被定义为
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{D}} &= \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ~,\\
\boldsymbol{\mathbf{H}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}} ~.\\
\end{align}
至少目前，式 1 是普适的，因为推导他的过程中我们没有过多地假设介质的性质（没有说明 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的关系，等等）。
1. 均匀线性介质的特例
在各向同性、非铁磁性的均匀线性介质中，极化电偶、电流密度与场4之间有线性关系5：
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{P}} &= \epsilon_0 \chi_E \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,\\
\boldsymbol{\mathbf{M}} &= \frac{1}{\mu_0} \frac{\chi_B}{1+\chi_B} \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.\\
\end{align}
因此，有构成关系：
\begin{align}
\boldsymbol{\mathbf{D}} &= \epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon_0 \epsilon_r \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon_0(1 + \chi_E) \boldsymbol{\mathbf{E}} ~,\\
\boldsymbol{\mathbf{H}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0\mu_r} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0(1 + \chi_B)}~.\\
\end{align}
其中 $\epsilon_r$ 为相对介电常数，$\mu_r$ 为相对磁导率，是与物质种类有关的物理量。
此时，麦克斯韦方程还可以写为：
\begin{equation} \begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho_f}{\epsilon}~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu J_f + \mu\epsilon \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{aligned} \end{equation}
注意他的适用范围（例如，不能在跨越两种不同的电介质的区域内使用），以及和 “真空” 麦克斯韦方程组的相似与不同
1. ^ 本文参考了 [1] 与周磊教授的《电动力学》讲义
2. ^ 有一些作者认为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} , \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 仅仅是数学工具而没有实际的物理含义，因为电荷或电流最终只能感受到 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 这类 “真正的场”。现在，不少人称呼 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为 “磁场强度”
3. ^ 即除了因介质极化而产生的极化电荷、极化电流
4. ^ 这里的场指总的场，即外场与极化场之和。对于电荷与介质而言，不论是外场还是极化场，他们的效果都是 “真实而相同” 的
5. ^ 或许你会感觉这个定义有点别扭。这有一定的历史原因。最早人们把 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 看作 “真正的场”，因此定义了 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_m \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{H}} $
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed