带电粒子的辐射
贡献者： _Eden_; ACertainUser
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
1. 运动电荷产生的电磁场
根据李纳维谢尔势公式，运动电荷将向外辐射电磁场，从而产生能量损耗。下面我们将定量地推导由运动电荷带来的空间的电磁场分布。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~,~\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 是 $t'$ 时刻粒子的位置和速度，满足 $t-t'=| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|$。下面将用 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 来表示 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，表示 $t'$ 处电荷位置到当前位置的位矢。那么电磁势可以写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在只要利用 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}, \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 就可以计算空间的电磁场分布了。但这里要注意的是，$\nabla$ 是对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 作空间梯度，当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 做 $ \,\mathrm{d}{r} $ 的变化时，相应的 $t', \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 也跟着发生变化（必须保证 $t'$ 时刻的粒子可以通过光速传播到当前时空点，即 $t-t'=| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|$）。下面我们依次计算几个物理量（由于 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t$ 的函数，下面公式中出现的偏微分都是在保持另一个变量不变的情况下计算偏导数）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2},\\
&\begin{cases}
\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{\partial R}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{R}\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R}\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{\partial (t-t')}{\partial t}=1-\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\end{cases}~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R} \left(\frac{\partial R}{\partial t}-1 \right) \\
\Rightarrow
&\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} },\
\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{R}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\partial_i R&=\frac{2(x_j-x_j')\partial_i(x_j-x'_j)}{2R}=\frac{1}{R} (x_j-x_j')(\delta_{ij} - \partial_i x_j')\\
&=\frac{1}{R}(x_i-x_i'-(x_j-x_j')\partial_i x_j')\\
&=\frac{1}{R} \left(R_i-R_j\frac{\partial x_j'}{\partial t'}\partial_{i} t' \right) \\
&=\frac{1}{R}(R_i+R_jv_j'\partial_i R)\\
\Rightarrow & \partial_i R=-\partial_i t'=\frac{R_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial_i R_j=\partial_i(x_j-x_j')=\delta_{ij}-\frac{\partial x_j'}{\partial t'}\partial_i t'=\delta_{ij}+\frac{v'_jR_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,
\\
&\frac{\partial R_j}{\partial t}=\frac{\partial R_j}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=-\frac{v'_jR}{R- \boldsymbol{\mathbf{r}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,
\\
&\partial_i v'_j=a'_j\partial_i t'=-\frac{a'_jR_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,\\
&\frac{\partial v'_j}{\partial t}=a_j'\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{a_j'R}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_i&=-\partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t}
\\
&=\frac{q \partial_i (R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^2}-\frac{q\frac{\partial v'_i}{\partial t}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )-qv'_i\frac{\partial}{\partial t}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^2}
\\
&=\frac{q}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3} \left(R_i-R_j(-a_j'R_i)-v'_j(\delta_{ij}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )+v'_jR_i) \right)
\\
&\ \ \ \ -\frac{q}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3} \left(a'_iR(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )+v'_i \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} +v'_i(-v'_jv'_jR+R_ja'_jR) \right)
\\
&=\frac{q \left((R_i-v_i'R)(1-v'_jv'_j) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}-\frac{q \left(R_j(R_ja'_i-R_ia'_j)+R_jR(v'_ia'_j-v'_ja'_i) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ')^3}~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} &=\frac{q \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}-\frac{q \left( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{a}} '\times \boldsymbol{\mathbf{R}} )- \boldsymbol{\mathbf{R}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{a}} '\times \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}\\
&=\frac{q \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}+\frac{q \left( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R)\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R^2}\frac{ \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ') \right) }{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}+\frac{q}{R}\frac{ \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) }{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}~.
\end{equation}
式 9 就是带电粒子产生的电场。其中第一项与 $R^2$ 成反比，与加速度无关；第二项与 $R$ 称反比，与加速度成正比。经过类似的推导，可以得出磁场的公式：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
例 1 匀速运动电荷产生的电磁场
设电荷 $q$ 以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 作匀速运动。设 $t$ 时刻电荷的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，空间中在某一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处放探测器。设 $\theta$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的夹角，设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t^*)$ 为 $t^*$ 时刻从电荷位置指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的矢量。求 $t$ 时刻在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的电磁场（结果用 $\theta,q,v, \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 表示）。
这个问题用参考系变换做起来会更加方便。这里我们作为使用式 9 进行计算的例子。
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =0$，所以式 9 只剩下了平方反比项。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R(t')^2}\frac{(1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}=\frac{q(1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R)}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} R(t')= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} (t-t')= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
R(t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')&= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)+ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t-t'))\\
&=R(t')(1-v^2)- v R(t)\cos\theta~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
R^2(t')=R^2(t)+v^2R^2(t')+2R(t')R(t)v\cos \theta\\
\Rightarrow R(t')=\frac{vR(t)\cos \theta+R(t)\sqrt{1-v^2\sin^2\theta}}{1-v^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)}{R^3(t)}\frac{1-v^2}{(1-v^2\sin^2\theta)^{3/2}}~,
\end{equation}
匀速电荷产生的电场具有许多有趣的现象。电场在平行于电荷运动的方向上减小，而在垂直方向上增大，整体上被 “压扁”，这可以理解为狭义相对论 “钟慢尺缩” 效应在电动力学中的体现。同时，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $不寻常地指向（或者反向指向）电荷 “真正的位置”，本应存在的推迟效应被巧妙地抵消了 [1]。
图 1：匀速运动电荷在 $Y=0$ 平面上产生的电场矢量场。假设电荷向右（$X$ 正方向）运动
2. 拉莫尔公式
当 $R\rightarrow \infty$ 时，式 9 中平方反比项衰减得很快，所以我们忽略此项，而只考虑由加速度导致的电磁辐射：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{S}} &=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )=\frac{1}{4\pi}( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} E^2- \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ))\\
&=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} E^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3} \right) ^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在考虑非相对论极限的情形：$v'\ll 1$。那么坡印廷矢量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{S}} &=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) ^2=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ')- \boldsymbol{\mathbf{a}} ' \right) ^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left(-( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ')^2+a'^2 \right) =\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2}( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} a^2\sin^2\theta}{4\pi R^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{P} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }=R^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} =\frac{q^2a^2\sin^2\theta}{4\pi}~,
\end{equation}
\begin{equation}
P=\int \frac{ \,\mathrm{d}{P} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} } \sin \theta \,\mathrm{d}{\Omega} =\int_0^\pi \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \frac{q^2a^2\sin^2\theta}{4\pi}=\frac{2}{3}q^2a^2~.
\end{equation}
\begin{equation}
P=\frac{2q^2}{3m^2} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{p} }{ \,\mathrm{d}{t} } \right) ^2~.
\end{equation}
在考虑相对论的情况下，球面上测得的辐射功率不再等于粒子的辐射功率1。这两者一定要加以区分。粒子的辐射功率是单位时间粒子由于电磁辐射而损耗的能量，具有洛伦兹协变性。可以证明，相对论带电粒子辐射功率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P&=\frac{2q^2}{3m^2}\frac{ \,\mathrm{d}{p} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{p} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\
&=\frac{2}{3}q^2\gamma^6(a^2-( \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} )^2))~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 这是因为球面上不同点对应的 $t'$ 各不相同，导致粒子辐射一部分能量与能流通过球面的时间间隔不同。例如粒子在一小段时间间隔内辐射的能量可能经过很长一段时间通过球面的一块区域，则测得的功率偏低。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed