电磁场的规范变换
贡献者： 叶月2_; addis
1虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场，但是同一个电磁场却可能对应不同的标势和矢势。这是因为在麦克斯韦方程中，有物理意义的是 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $。我们只需保证：尽管改变四维电磁矢势 $(\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$，也对应相同的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 即可。
由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} $，利用函数的梯度是一个无旋场，我们可以令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '=A+ \boldsymbol\nabla \lambda$，则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
如果 $\lambda$ 随时间变化，
式 1 中的电场会改变。因此我们需要同时修正 $\varphi$，才能确保变换后电场也不改变。可以发现只需要令 $\varphi' = \varphi - \partial \lambda/\partial t $ 即可
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ' = - \boldsymbol\nabla \varphi' - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} '}{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \left(\varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
这种 “保持电磁场不变时，对势 $ \begin{pmatrix}\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{pmatrix} $ 进行的变换” 被称为规范变换（gauge transformation）：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda\\
&\varphi' = \varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} ~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
任何产生相同电磁场的两组标势矢势都可以通过规范变换联系起来。
除此以外，考虑到麦克斯韦方程只约束了 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的散度，因此我们可以限定 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的结果来减少冗余的自由度，还可同时简化麦克斯韦方程。
基于此，常见的两种规范是库仑规范和洛伦兹规范。
下面列出常见的规范条件：
- 库伦规范：$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$。
- 洛伦兹规范：$\partial_{\mu}A^{\mu}=0$。
- 辐射（radiation）规范：$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0,A^0=0$。($ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 只有两个自由度，对应电磁场只有两个独立自由度，电磁波只有两个独立偏振方向。)
- 瞬时（temporal）规范：$A^0=0$。
- 轴（axial）规范：$A^3=0$。
这些规范条件总可以通过 $\lambda$ 的具体选定来实现，读者可自证这一点。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。