贡献者： addis
当我们规范变换中选择 $\lambda$ 使得 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} \equiv 0$ 时，就得到了库仑规范。这种选择在很多情况下可以简化计算，因为这样标势和矢势的麦克斯韦方程组（式 4 式 5 ）化简为（真空中的光速为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~.
\end{equation}
其中
式 1 的形式与静止电荷分布的
泊松方程形式一样，但同样适用于随时间变化的 $\rho$。这看起来似乎电荷对 $\varphi$ 存在瞬时作用，但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上的可观测量，所以是不违背相对论中 “信息不能超光速的” 的。
在没有净电荷和电流的区域，以上两式进一步化简为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = 0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \left( \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) ~.
\end{equation}
任何满足 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \lambda = 0$ 的规范变换都能保持 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 不变。可见只有 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 并不能唯一确定标势矢势，还需要一定的边界条件。库仑规范的另一个条件是：令标势的边界条件为无穷远处 $\varphi = 0$，于是标量势可以唯一确定为
\begin{equation}
\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
1. 无源的情况
如果空间中没有电荷（称为无源），那么根据式 5
\begin{equation}
\varphi \equiv 0~.
\end{equation}
结合
式 1 得到一个常用的结论是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
如果空间中也没有电流，矢势的波动方程
式 2 也变得更简单
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = 0~.
\end{equation}
该方程若写成分量的形式就是常见的
波动方程，通解就是由任意极化方向 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _0$ 和延传播方向 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 光速传播的
平面简谐波
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi\right) \qquad (\omega = ck)~.
\end{equation}
叠加而成。最后施加 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 条件后得 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _0 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$，即振动方向与传播方向垂直。