磁场的能量

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识 1　磁矢势

　　磁场 $B (r)$ 的能量密度为

\begin{matrix} (1) & W = \frac{1}{2 μ_{0}} \int B^{2} d V 或 W = \frac{1}{2} \int A \cdot J d V . \end{matrix}

其中

μ_{0}

是真空中的磁导率，

A

J

是电流密度，积分是对全空间积分（或者对被积函数不为零的空间积分）。

1. 幼稚的推导

预备知识 2　电感

　　首先我们根据能量守恒的思想，假设给一个电感 $l$ 充电的能量都以 “磁场能” 的形式储存起来，且每个点的能量密度只是磁场强度绝对值的函数。

　　在例 2 中，我们知道螺线管中的磁场强度为

\begin{matrix} (2) & B = μ_{0} n I . \end{matrix}

该螺线管的电感为

\begin{matrix} (3) & L = μ_{0} n^{2} l S . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & E_{B} = \frac{1}{2} L I^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & E_{B} = \frac{1}{2} μ_{0} n^{2} l S (\frac{B}{μ_{0} n})^{2} = \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} l S . \end{matrix}

l S

即为螺线圈的体积，写为积分形式，即为

\begin{matrix} (6) & W = \frac{1}{2 μ_{0}} \int B^{2} d V . \end{matrix}

这就是螺线圈中磁场的能量。

　　我们首先考虑一个单匝线圈的磁场能量

图 1：单匝线圈

　　假设 $t = 0$ 时 $I = 0$ ，此时没有磁场，磁场能量为零。

　　接下来将线圈接入外部电源，令 $I$ 随着 $t$ 慢慢增加。变化的电流激发变化的磁场，而变化的磁场又产生一个反向电动势。反向电动势为（定义与电流相同的方向为正）

\begin{matrix} (7) & ε = - \frac{d Φ}{d t} = - \frac{d}{d t} \int B \cdot d s = - \frac{d}{d t} \int (\nabla \times A) \cdot d s = - \frac{d}{d t} \oint A \cdot d l . \end{matrix}

电源克服反电动势的功率为

\begin{matrix} (8) & \frac{d W}{d t} = - ε I = I \frac{d}{d t} \int B \cdot d s = \int I \frac{d B}{d t} \cdot d s . \end{matrix}

从能量守恒角度看，这部分功率对应的能量转换为了磁场的能量¹。由于磁场与电流成正比（见毕奥—萨伐尔定律) ，不妨设

B = b I

　。则

\begin{matrix} (9) & I \frac{d B}{d t} = b I \frac{d I}{d t} = \frac{b}{2} \frac{d I^{2}}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} I B), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (10) & \frac{d W}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} \int I B \cdot d s) . \end{matrix}

注意两边都是对时间的导数。两边对时间积分，得

\begin{matrix} (11) & W = \frac{1}{2} \int I B \cdot d s . \end{matrix}

注意当

I = 0

时

W = 0

，所以积分常数为零。注意在上述过程中，并没有假设电流以什么样的函数随时间变化（只要是缓慢变化即可）。

\begin{matrix} (12) & W = \frac{I}{2} \int B \cdot d s = \frac{I}{2} \int \nabla \times A \cdot d s = \frac{1}{2} \oint I A \cdot d l . \end{matrix}

未完成：推导

1. ^ 自感对电流的阻碍作用或许让你联想到电阻的阻碍作用，但这两者有一些微妙的不同。在电阻中，电能转换为热能；而在自感线圈中，电能转换为了磁场能。