电磁场标势和矢势

贡献者：叶月2_; addis

预备知识　法拉第电磁感应，磁矢势

　　经典电动力学中，可以用标量势 $φ (r, t)$ 和矢量势 $A (r, t)$ 表示电磁场，使一些计算更为方便：

\begin{matrix} (1) & E = - \nabla φ - \frac{\partial A}{\partial t} . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & B = \nabla \times A . \end{matrix}

1. 推导

　　首先定义 $A$ ，则由法拉第电磁感应定律（式 2 ）

\begin{matrix} (3) & \nabla \times (E + \frac{\partial A}{\partial t}) = \nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t} = 0 . \end{matrix}

这说明括号中的矢量可以表示为一个标量函数的梯度，即标势

φ

，负号是为了在静电场的情况下使得标势等于电势。

　　将式 1 和式 2 代入麦克斯韦方程组可以得到两条与麦克斯韦方程组等效的方程

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} φ + \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot A) = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & (\nabla^{2} A - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}}) - \nabla (\nabla \cdot A + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t}) = - μ_{0} J . \end{matrix}

这两条方程可以根据规范条件的选取进行简化。

　　速度为 $v$ ，电荷量为 $q$ 的粒子在电磁场中会受到广义洛伦兹力：

\begin{matrix} (6) & F = q E + q v \times B, \end{matrix}

由

\nabla \cdot A \neq 0

可知，洛伦兹力不是保守力。那么该粒子的拉格朗日方程为：

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{a}} - \frac{\partial T}{\partial q_{a}} = F_{a} . \end{matrix}

但若能把广义力表示为势能函数：

\begin{matrix} (8) & F_{α} = - \frac{\partial U}{\partial q_{α}} + \frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial {\dot{q}}_{α}}, \end{matrix}

我们就能得到形式上的保守系中拉格朗日方程，同时得到电磁场中带电粒子的广义势能和拉格朗日量。

　　采用直角坐标系，由式 6 得： $F_{x} = q E_{x} + q v_{y} B_{z} - q v_{z} B_{y}$ 。代入标势和矢势得：

\begin{matrix} (9) & F_{x} = - q \frac{\partial φ}{\partial x} - q \frac{\partial A_{x}}{\partial t} + q v_{y} (\frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}) - q v_{z} (\frac{\partial A_{z}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial z}), \end{matrix}

又因

\frac{d A (x, t)}{d t} = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial A}{\partial x^{i}} \cdot v^{i}

，把偏微分项代入式 9 后，还需要将结果化简为对速度或者坐标的偏导数。利用

\begin{matrix} (10) & \frac{d A_{x}}{d t} = \frac{d}{d t} [\frac{\partial}{\partial v_{x}} (A \cdot v)] = \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v_{x}} (- φ + A \cdot v), \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & (v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial A_{y}}{\partial x} + v_{z} \frac{\partial A_{z}}{\partial x}) = v \cdot \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (v \cdot A) . \end{matrix}

把最终结果化简为

\begin{matrix} (12) & F_{x} = q [- \frac{\partial}{\partial x} (φ - A \cdot v) + \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial v_{x}} (φ - A \cdot v)], \end{matrix}

因此，广义势能为：

\begin{matrix} (13) & U = q φ - A \cdot v . \end{matrix}