贡献者： 叶月2_; addis
经典电动力学中，可以用标量势 $\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和矢量势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 表示电磁场，使一些计算更为方便：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
1. 推导
首先定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，则由法拉第电磁感应定律（式 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \right) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
这说明括号中的矢量可以表示为一个标量函数的梯度，即标势 $\varphi$，负号是为了在静电场的情况下使得标势等于电势。
2. 应用
麦克斯韦方程组
将式 1 和式 2 代入麦克斯韦方程组可以得到两条与麦克斯韦方程组等效的方程
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left( \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} \right) - \boldsymbol\nabla \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} ~.
\end{equation}
这两条方程可以根据规范条件的选取进行简化。
带电粒子在电磁场中运动
速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，电荷量为 $q$ 的粒子在电磁场中会受到广义洛伦兹力：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} =q \boldsymbol{\mathbf{E}} +q \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}}
~,\end{equation}
由 $ \boldsymbol\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \neq 0$ 可知，洛伦兹力不是保守力。那么该粒子的拉格朗日方程为：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_a}-\frac{\partial T}{\partial q_a}=F_a~.
\end{equation}
但若能把广义力表示为势能函数：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _{\alpha}=-\frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial U}{\partial \dot q_{\alpha}}~,
\end{equation}
我们就能得到形式上的保守系中拉格朗日方程，同时得到电磁场中带电粒子的广义势能和拉格朗日量。
采用直角坐标系，由式 6 得：$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _x=q \boldsymbol{\mathbf{E}} _x+q \boldsymbol{\mathbf{v}} _y \boldsymbol{\mathbf{B}} _z-q \boldsymbol{\mathbf{v}} _z \boldsymbol{\mathbf{B}} _y$。代入标势和矢势得：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _x=-q\frac{\partial \varphi}{\partial x}-q\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial t}+q \boldsymbol{\mathbf{v}} _y \left(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _y}{\partial x}-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial y} \right) -q \boldsymbol{\mathbf{v}} _z \left(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _z}{\partial x}-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial z} \right) ~,
\end{equation}
又因 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}+\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i}\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ^i$，把偏微分项代入
式 9 后，还需要将结果化简为对速度或者坐标的偏导数。利用
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}(-\varphi+ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left( \boldsymbol{\mathbf{v}} _x \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _y \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _y}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _z \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _z}{\partial x}\right)= \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) ~.
\end{equation}
把最终结果化简为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} _x=q\left[-\frac{\partial}{\partial x}(\varphi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot v)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}(\varphi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )\right]~,
\end{equation}
因此，广义势能为：
\begin{equation}
U=q\varphi - \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}