电磁场标势和矢势

                     

贡献者: 叶月2_; addis

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预备知识 法拉第电磁感应磁矢势

   经典电动力学中,可以用标量势 $\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和矢量势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 表示电磁场,使一些计算更为方便:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~. \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~. \end{equation}

1. 推导

   首先定义 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,则由法拉第电磁感应定律(式 2

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \right) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
这说明括号中的矢量可以表示为一个标量函数的梯度,即标势 $\varphi$,负号是为了在静电场的情况下使得标势等于电势。

2. 应用

麦克斯韦方程组

   将式 1 式 2 代入麦克斯韦方程组可以得到两条与麦克斯韦方程组等效的方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~, \end{equation}
\begin{equation} \left( \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} \right) - \boldsymbol\nabla \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{J}} ~. \end{equation}
这两条方程可以根据规范条件的选取进行简化。

带电粒子在电磁场中运动

   速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,电荷量为 $q$ 的粒子在电磁场中会受到广义洛伦兹力:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} =q \boldsymbol{\mathbf{E}} +q \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~,\end{equation}
由 $ \boldsymbol\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \neq 0$ 可知,洛伦兹力不是保守力。那么该粒子的拉格朗日方程为:
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_a}-\frac{\partial T}{\partial q_a}=F_a~. \end{equation}
但若能把广义力表示为势能函数:$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{\alpha}=-\frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial U}{\partial \dot q_{\alpha}}$,我们就能得到形式上的保守系中拉格朗日方程,同时得到电磁场中带电粒子的广义势能和拉格朗日量。

   采用直角坐标系,由式 6 得:$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _x=q \boldsymbol{\mathbf{E}} _x+q \boldsymbol{\mathbf{v}} _y \boldsymbol{\mathbf{B}} _z-q \boldsymbol{\mathbf{v}} _z \boldsymbol{\mathbf{B}} _y$。代入标势和矢势得:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _x=-q\frac{\partial \varphi}{\partial x}-q\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial t}+q \boldsymbol{\mathbf{v}} _y(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _y}{\partial x}-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _y}{\partial x})-q \boldsymbol{\mathbf{v}} _z(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _z}{\partial x}-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial z})~, \end{equation}
又因 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}+\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial \boldsymbol{\mathbf{x}} ^i}\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ^i$,把偏微分项代入式 8 后,还需要将结果化简为对速度或者坐标的偏导数。利用
\begin{equation} \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}( \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}(-\varphi+ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ), \\ \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} _x \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _x}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _y \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _y}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{v}} _z \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} _z}{\partial x}\right)= \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) . \end{array}~, \end{equation}
把最终结果化简为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} _x=q\left[-\frac{\partial}{\partial x}(\varphi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot v)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\mathbf{v}} _x}(\varphi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )\right]~, \end{equation}
因此,广义势能为:
\begin{equation} U=q\varphi - \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~. \end{equation}

                     

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