薛定谔方程（单粒子一维）

贡献者： addis

预备知识　定态薛定谔方程（单粒子一维），分离变量法解偏微分方程

　　单粒子的一维波函数是位置和时间的函数 $Ψ (x, t)$ ，薛定谔方程为

\begin{matrix} (1) & H Ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (2) & H = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V (x, t), \end{matrix}

也可以直接记为

\begin{matrix} (3) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ + V (x, t) Ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ . \end{matrix}

V (x, t)

是势能，满足

\begin{matrix} (4) & F_{x} (t) = - \frac{\partial V}{\partial x}, \end{matrix}

其中

F_{x}

是经典力学中质点的受力。

1. 能量守恒系统的时间演化

　　当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒。这时我们可以用分离变量法，令

\begin{matrix} (5) & Ψ (x, t) = ψ (x) T (t), \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & H ψ = E ψ . \end{matrix}

以及

\begin{matrix} (7) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} T = E T, \end{matrix}

其中式 6 就是定态薛定谔方程，即哈密顿算符的本征方程。式 7 有简单的解

\begin{matrix} (8) & T (t) = e^{- i E t / ℏ} . \end{matrix}

　　根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值。先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_{n}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ），那么含时薛定谔方程的通解为

\begin{matrix} (9) & Ψ (x, t) = \sum_{n} C_{n} ψ_{n} (x) e^{- i E_{n} t / ℏ} . \end{matrix}

其中

C_{n}

为待定系数，由初始条件决定。本征波函数满足正交关系

\begin{matrix} (10) & \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{m} (x) ψ_{n} (x) d x = δ_{m, n} . \end{matrix}

原因见 “施图姆—刘维尔理论”，也可以类比有限维的 “厄米矩阵的本征问题”。所以系数可以通过投影计算

\begin{matrix} (11) & C_{n} = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{n} (x) Ψ (x, 0) d x, \end{matrix}

这个投影过程可以类比傅里叶级数（指数）。事实上，傅里叶级数（子节 3 ）就是无限深方势阱的波函数。

　　如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数。我们知道此时每个能量都有二重简并，所以定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 有两个线性无关的解 $ψ_{E, 1} (x)$ 和 $ψ_{E, 2} (x)$ ，那么

\begin{matrix} (12) & Ψ (x, t) = \int [C_{1} (E) ψ_{E, 1} (x) + C_{2} (E) ψ_{E, 2} (x)] e^{- i E t / ℏ} d E, \end{matrix}

一个经典的例子见 “一维自由粒子（量子）”。至于系数具体如何求，见 “量子散射（一维）”。注意由于简并，有时候需要先把

ψ_{E, 1} (x), ψ_{E, 2} (x)

进行正交归一化才能投影得到系数。