贡献者： addis
预备知识 定态薛定谔方程（单粒子一维）
，分离变量法解偏微分方程
单粒子的一维波函数是位置和时间的函数 $\Psi(x, t)$，薛定谔方程为
\begin{equation}
H\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + V(x, t)~,
\end{equation}
也可以直接记为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \Psi + V(x, t)\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi~.
\end{equation}
$V(x,t)$ 是势能，满足
\begin{equation}
F_x(t) = - \frac{\partial V}{\partial x} ~,
\end{equation}
其中 $F_x$ 是经典力学中质点的受力。
1. 能量守恒系统的时间演化
当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒。这时我们可以用分离变量法，令
\begin{equation}
\Psi(x, t) = \psi(x) T(t)~,
\end{equation}
\begin{equation}
H\psi = E\psi~.
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} T = ET~,
\end{equation}
其中
式 6 就是
定态薛定谔方程，即哈密顿算符的本征方程。
式 7 有简单的解
\begin{equation}
T(t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar}~.
\end{equation}
根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值。先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_n$（$n = 1, 2, \dots$），那么含时薛定谔方程的通解为
\begin{equation}
\Psi(x, t) = \sum_n C_n \psi_n(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar}~.
\end{equation}
其中 $C_n$ 为待定系数，由初始条件决定。本征波函数满足正交关系
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_m(x)\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{m,n}~.
\end{equation}
原因见 “
施图姆—刘维尔理论”，也可以类比有限维的 “
厄米矩阵的本征问题”。所以系数可以通过投影计算
\begin{equation}
C_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n(x)\Psi(x, 0) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
这个投影过程可以类比
傅里叶级数（指数）。事实上，傅里叶级数（
子节 3 ）就是
无限深方势阱的波函数。
两个具体的例子见 “无限深势阱中的高斯波包” 和 “简谐振子中的高斯波包（Matlab）”。
如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数。我们知道此时每个能量都有二重简并，所以定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 有两个线性无关的解 $\psi_{E,1}(x)$ 和 $\psi_{E,2}(x)$，那么
\begin{equation}
\Psi(x, t) = \int [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} ~,
\end{equation}
一个经典的例子见 “
一维自由粒子（量子）”。至于系数具体如何求，见 “
量子散射（一维）”。注意由于简并，有时候需要先把 $\psi_{E,1}(x), \psi_{E,2}(x)$ 进行
正交归一化才能投影得到系数。