平面波的的正交归一化

贡献者： addis

预备知识　一维自由粒子（量子）

　　本文使用原子单位制。回顾一维自由粒子中的分析，我们需要把能量本征态即平面波进行动量归一化或者能量归一化

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{k^{'}} (x)^{*} ψ_{k} (x) d x = δ (k^{'} - k) (k \in R), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{+ \infty} ψ_{E^{'}, i^{'}} (x)^{*} ψ_{E, i} (x) d x = δ_{i^{'}, i} δ (E^{'} - E) (E > 0) . \end{matrix}

其中

*

表示复共轭，满足该式的

ψ_{k}

就是动量归一化的平面波：

\begin{matrix} (3) & ψ_{k} (x) = \frac{e^{i k x}}{\sqrt{2 π}} . \end{matrix}

但什么样的归一化系数能满足能量归一化条件呢？

　　我们可以令定态薛定谔方程的两个线性无关解 $ψ_{E, 1} (x), ψ_{E, 2} (x)$ 分别为 $- k$ 和 $k$ 的平面波（暂时规定 $k = \sqrt{2 m E} > 0$ ），只是归一化系数和式 3 不同。只需要使用 $δ$ 函数的性质式 12 ，把 $E^{'} - E$ 看成 $k$ 的函数（ $k^{'}$ 视为常数）¹，唯一的正根为 $k^{'}$

\begin{matrix} (4) & f (k) = \frac{k^{' 2}}{2 m} - \frac{k^{2}}{2 m}, | f^{'} (k^{'}) | = \frac{k^{'}}{m} . \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (5) & δ (E^{'} - E) = δ [f (k)] = \frac{m}{k^{'}} δ (k^{'} - k) = \frac{m}{k} δ (k^{'} - k), \end{matrix}

代入式 2 得能量归一化后的平面波

\begin{matrix} (6) & ψ_{E, 1} (x) = \sqrt{\frac{m}{2 π k}} e^{i k x}, ψ_{E, 2} (x) = \sqrt{\frac{m}{2 π k}} e^{- i k x} . \end{matrix}

　　现在，任意波函数 $ψ (x)$ 就可以用能量归一化的基底展开为

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} ψ (x) & = \int_{0}^{+ \infty} [A (k) ψ_{E, 1} (x) + A (- k) ψ_{E, 2} (x)] d E \\ = \int_{0}^{+ \infty} \sqrt{\frac{k}{m}} [A (k) \frac{e^{i k x}}{\sqrt{2 π}} + A (- k) \frac{e^{- i k x}}{\sqrt{2 π}}] d k \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \sqrt{\frac{| k |}{m}} A (k) ψ_{k} (x) d k . \end{aligned} \end{matrix}

对比用动量归一化展开

\begin{matrix} (8) & ψ (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} C (k) ψ_{k} (x) d k, \end{matrix}

两种系数间满足关系

\begin{matrix} (9) & C (k) = \sqrt{\frac{| k |}{m}} A (k) . \end{matrix}

1. 其他正交归一本征态

　　事实上归一化其实有无数种，因为每个能量 $E$ 的本征波函数空间是一个二维简并空间，我们可以把以上正交归一的 $ψ_{E, 1}, ψ_{E, 2}$ 做一个任意幺正变换后仍然得到两个正交归一的解。最常见的方法例如令（角标 $o$ 代表 odd， $e$ 代表 even）

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ψ_{E, e} (x) & = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{E, 1} (x) + ψ_{E, 2} (x)] = \sqrt{\frac{m}{π k}} \cos (k x), \\ ψ_{E, o} (x) & = \frac{1}{\sqrt{2} i} [ψ_{E, 1} (x) - ψ_{E, 2} (x)] = \sqrt{\frac{m}{π k}} \sin (k x), \end{aligned} \end{matrix}

他们满足式 2 （习题）。这个变换使用了矩阵

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ - i & i \end{matrix}) / \sqrt{2}

，可以证明使用任何 2 乘 2 的酉矩阵做变换都可以。

　　令 $k > 0$ ，把 $ψ_{\pm k}$ 做类似的变换，我们也可以写出动量归一化的一种变体²

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} ψ_{k, e} (x) & = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{k} (x) + ψ_{- k} (x)] = \frac{1}{\sqrt{π}} \cos (k x), \\ ψ_{k, o} (x) & = \frac{1}{\sqrt{2} i} [ψ_{k} (x) - ψ_{- k} (x)] = \frac{1}{\sqrt{π}} \sin (k x) . \end{aligned} (k > 0) . \end{matrix}

这就是三角傅里叶变换中使用的基底。他们满足归一化条件

\begin{matrix} (12) & \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{k^{'}, i} (x)^{*} ψ_{k, i} (x) d x = δ (k^{'} - k), (k > 0, i = e, o) . \end{matrix}

1. ^ 反之亦然： $k^{'}$ 看成变量， $k$ 看成常数
2. ^ 注意这样得到的并不是动量算符的本征函数，所以严格来说动量归一化只有一种可能。