贡献者： addis
本文使用原子单位制。回顾一维自由粒子中的分析，我们需要把能量本征态即平面波进行动量归一化或者能量归一化
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k'}(x)^* \psi_{k}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k) \qquad (k \in \mathbb R)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{0}^{+\infty} \psi_{E',i'}(x)^* \psi_{E,i}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{i',i}\delta(E' - E) \qquad (E > 0)~.
\end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭，满足该式的 $\psi_k$ 就是动量归一化的平面波：
\begin{equation}
\psi_k(x) = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}}~.
\end{equation}
但什么样的归一化系数能满足能量归一化条件呢？
我们可以令定态薛定谔方程的两个线性无关解 $\psi_{E,1}(x), \psi_{E,2}(x)$ 分别为 $-k$ 和 $k$ 的平面波（暂时规定 $k = \sqrt{2mE} > 0$），只是归一化系数和式 3 不同。只需要使用 $\delta$ 函数的性质式 12 ，把 $E'-E$ 看成 $k$ 的函数（$k'$ 视为常数）1，唯一的正根为 $k'$
\begin{equation}
f(k) = \frac{k'^2}{2m} - \frac{k^2}{2m}~,
\qquad
\left\lvert f'(k') \right\rvert = \frac{k'}{m}~.
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\delta(E'-E) = \delta[f(k)] = \frac{m}{k'} \delta(k'-k) = \frac{m}{k} \delta(k'-k)~,
\end{equation}
代入
式 2 得
能量归一化后的平面波
\begin{equation}
\psi_{E,1}(x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}~,
\qquad
\psi_{E,2}(x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx}~.
\end{equation}
现在，任意波函数 $\psi(x)$ 就可以用能量归一化的基底展开为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi(x) &= \int_0^{+\infty} [A(k) \psi_{E,1}(x) + A(-k) \psi_{E,2}(x)] \,\mathrm{d}{E} \\
&= \int_0^{+\infty} \sqrt{\frac{k}{m}} \left[A(k) \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} + A(-k)\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \right] \,\mathrm{d}{k} \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\frac{ \left\lvert k \right\rvert }{m}}A(k) \psi_k(x) \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
对比用动量归一化展开
\begin{equation}
\psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(k)\psi_k(x) \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
两种系数间满足关系
\begin{equation}
C(k) = \sqrt{\frac{ \left\lvert k \right\rvert }{m}}A(k)~.
\end{equation}
1. 其他正交归一本征态
事实上归一化其实有无数种，因为每个能量 $E$ 的本征波函数空间是一个二维简并空间，我们可以把以上正交归一的 $\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$ 做一个任意幺正变换后仍然得到两个正交归一的解。最常见的方法例如令（角标 $o$ 代表 odd，$e$ 代表 even）
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_{E,e}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{E,1}(x) + \psi_{E,2}(x)] = \sqrt{\frac{m}{\pi k}} \cos\left(kx\right) ~,\\
\psi_{E,o}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}\, \mathrm{i} }[\psi_{E,1}(x) - \psi_{E,2}(x)] = \sqrt{\frac{m}{\pi k}} \sin\left(kx\right) ~,
\end{aligned}
\end{equation}
他们满足
式 2 （习题）。这个变换使用了矩阵 $ \begin{pmatrix}1 & 1\\ - \mathrm{i} & \mathrm{i} \end{pmatrix} /\sqrt{2}$，可以证明使用任何 2 乘 2 的
酉矩阵做变换都可以。
令 $k > 0$，把 $\psi_{\pm k}$ 做类似的变换，我们也可以写出动量归一化的一种变体2
\begin{equation}
\begin{aligned}
\psi_{k,e}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{k}(x) + \psi_{-k}(x)] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos\left(kx\right) ~,\\
\psi_{k,o}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}\, \mathrm{i} }[\psi_{k}(x) - \psi_{-k}(x)] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin\left(kx\right) ~.
\end{aligned}
\qquad (k > 0)~.
\end{equation}
这就是
三角傅里叶变换中使用的基底。他们满足归一化条件
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k',i}(x)^* \psi_{k,i}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k) ~,\qquad (k > 0, i = e, o)~.
\end{equation}
1. ^ 反之亦然：$k'$ 看成变量，$k$ 看成常数
2. ^ 注意这样得到的并不是动量算符的本征函数，所以严格来说动量归一化只有一种可能。