分离变量法解偏微分方程

贡献者： addis; ACertainUser

本文处于草稿阶段。

　　在求解各种物理问题中的偏微分方程时，我们经常使用分离变量法。不夸张地说，分离变量法在解各种物理学的偏微分方程是最重要最常用的方法。在分离变量法中，我们假设微分方程的解可以表示为

\begin{equation} f(x_1, \dots , x_N) = \sum_{i_1, \dots, i_N} c_{i_1, \dots, i_N} f_{i_1}(x_1) f_{i_2}(x_2) \dots f_{i_N}(x_N)~. \end{equation}

即每个变量都具有一组一元函数，这些一元函数的乘积的线性组合可以表示方程的解。若将该式代入偏微分方程，可以分别得到关于每个变量 $x_i$ 的常微分方程，我们就说这个偏微分方程式可分离变量的。我们通过一个例子来说明。

1. 弦上的驻波

预备知识　一维波动方程，多元函数的傅里叶级数

　　一维的波动方程（式 5 ）为

\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} f(x, t) - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} f(x, t) = 0~. \end{equation}

假设弦长为 $a$，两端固定，则边界条件为

\begin{equation} f(0, t) = f(a, t) = 0~. \end{equation}

显然，$f(x, t) \equiv 0$ 是方程的一个解，代表一根静止的弦，但这对我们并没有什么用。那么有哪些些非零的解呢？我们现在只会解一些常微分方程，而 $f(x, t)$ 是一个二元函数，让人有点无从下手，所以我们可以先猜测某个解具有

\begin{equation} f_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)~ \end{equation}

的形式，即分别含有两个变量的两个一元函数相乘。把式 4 代入原方程式 1 ，得

\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} [X_n(x)T_n(t)] - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} [X_n(x) T_n(t)] = 0~. \end{equation}

根据求导法则，方程变为

\begin{equation} T_n \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{X_n}{v^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} ~. \end{equation}

现在把方程两边同时除以 $X_nT_n$，使等式左边只是 $x$ 的函数，右边只是 $t$ 的函数

\begin{equation} \frac{1}{X_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{1}{v^2 T_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} ~. \end{equation}

让我们观察一下这个方程的特点。在某个时刻 $t$，$X(x)$ 必定会随 $x$ 变化（因为我们要找的是非零解，弦不可能是一条直线）。反之，如果保持 $x$ 不变（观察弦上某个点的运动情况），$T(t)$ 也必须随 $t$ 改变（因为弦上的任意一点一般会做某种运动，例如振动，不可能都静止）。把这样的推理用到上式，就会得出，唯一可能让等式成立的方法是方程两边分别等于一个常数，因为 $x$ 不变时方程左边是常数， $t$ 不变时方程右边是常数。若设这个常数为 $-k^2$（一个任意实数，这么表示是为了下文书写方便），得

\begin{equation} \frac{1}{X_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = -k^2~, \qquad \frac{1}{v^2 T_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -k^2~, \end{equation}

或

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + k^2 X_n = 0~, \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} + v^2k^2 T_n = 0~, \end{equation}

这两条都是一维齐次亥姆霍兹方程。

　　若常数 $k_n^2 < 0$，方程的解为指数函数

\begin{align} X_n &= C_1 \mathrm{e} ^{k_nx} + C_2 \mathrm{e} ^{-k_nx}~,\\ T_n &= D_1 \mathrm{e} ^{k_nvt} + D_2 \mathrm{e} ^{-k_nvt}~. \end{align}

此时，$f_n = X_nT_n$ 不可能满足边界条件式 3 （但有可能满足其他边界条件），因此舍去。

　　若 $k_n=0$，则

\begin{align} X_n &= C_1x+C_2~,\\ T_n &= D_1t+D_2~\\ \end{align}

同样也不能满足边界条件，舍去。

　　若常数 $k_n^2 > 0$，方程的解为

\begin{align} X &= C_1 \cos\left(kx\right) + C_2 \sin\left(kx\right) ~,\\ T &= D_1 \cos\left(kvt\right) + D_2 \sin\left(kvt\right) ~. \end{align}

　　代入边界条件 $X(0) = 0$ 且 $X(a) = 0$。先将前者代入式 15 得 $C_1 = 0$，所以 $X_n = C_2 \sin\left(k_nx\right) $。再代入后者得 $C_2 \sin\left(k_na\right) = 0$。为了获得非零解，我们不可能让 $C_1, C_2$ 都为零，所以只能令 $ \sin\left(ka\right) = 0$，解出常数 $k_n = n\pi/a$. 其中 $n=1,2,3,...$ 为任意正整数。因此 $k$ 只能是离散的值，这个特性是由于方程的边界条件。

　　因此，

\begin{align} X_n &= C_2 \sin\left(k_nx\right) ~,\\ T_n &= D_1 \cos\left(k_nvt\right) + D_2 \sin\left(k_nvt\right) ~,\\ k_n & = n\pi/a, n=1,2,3,...~ \end{align}

\begin{equation} f_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) = C_{1n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a} vt\right) + C_{2n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \sin\left(\frac{n\pi}{a}vt\right) ~. \end{equation}

每一个 $f_n$ 都可以看作一个以一定频率震动的 “驻波”。此处的 $C, D$ 都是待定系数，因此可以 “合并”。

　　式 17 也可以记为 $T_n=D \cos\left(k_nvt+\phi_n\right) $。现在，我们叠加这无穷多个解，得到最后的解。这个解可以认为是一系列特定频率的驻波的线性组合。

\begin{equation} f(x, t) = \sum_{n=1}^\infty X_nT_n = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a}vt + \phi_n\right) ~. \end{equation}

图 1：驻波示意图，包含两个不同频率的驻波。笔者制作的一个可动演示见这里（站外链接）