贡献者： addis
本文使用原子单位制。在经典力学中，某个时刻测量系统的某个量 $Q$ 可以得到唯一确定的值。如果测量值不随时间变化，就说它守恒（conserved）。而在量子力学中，若对一个系统单次测量，测量值是不确定的，那守恒量由该如何理解呢？比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合，测得的能量却可能各不相同，是否意味着能量不守恒？
答案是否定的，在量子力学中，我们定义：
定义 1 守恒量（量子力学）
若对系统测量某个物理量得到的测量值的概率分布不随时间改变，就说这个量是守恒的。
例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包（未必是单个能量本征态，而是任意能量本征态的线性组合，例如 “无限深势阱中的高斯波包”），测得每个能量本征值的概率都不随时间变化，这就说明能量守恒。
推论 1 平均值守恒
守恒量的平均值也不随时间变化。
根据定义 1 易证。
1. 能量守恒
定理 1 能量守恒
若哈密顿算符 $H$ 不随时间变化，就有能量守恒。
证明：令能量的所有本征态为（为了方便起见，假设本征态是离散的）$\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$，系统状态随时间的演化可以记为（见式 8 ，其中 $C_i$ 为常数，由初始状态决定）
\begin{equation}
\left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle ~,
\end{equation}
令能量 $E_j$ 对应的所有本征态的编号的集合为 $D_j$（如果 $E_j$ 是非简并的，那么 $D_j = \left\{j \right\} $），那么测得 $E_j$ 的概率为
\begin{equation}
P(E_j) = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \right\rvert ^2~,
\end{equation}
不随时间变化，所以有能量守恒。证毕。
例 1
能量守恒的简单系统如：无限深势阱，简谐振子，自由粒子，有限深势阱等。这些系统的哈密顿算符都不随时间变化。将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上，得到的系数的模方都是相同的。
2. 其他守恒量
定理 2 对易与守恒量
令 $H$ 为哈密顿算符（不必不含时，不必能量守恒），$Q$ 是另一个物理量的算符。以下两个命题互为充分必要条件
- $Q$ 对应一个守恒量。
- $ \left[H, Q\right] = 0$。
该定理在经典力学中的对应定理是：若物理量 $\omega(q, p)$ 和哈密顿量 $H$ 的泊松括号 $ \left\{\omega, H\right\} $ 为零，则 $\omega$ 是一个守恒量。
证明：我们还是从离散本征态的简单情况来证明这个定理，且假设哈密顿算符不含时1。首先由 2 证明 1，若两算符对称，则它们必有一组完备的共同本征矢 $\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$，满足
\begin{equation}
\begin{cases}
H \left\lvert u_i \right\rangle = E_i \left\lvert u_i \right\rangle \\
Q \left\lvert u_i \right\rangle = q_i \left\lvert u_i \right\rangle ~.
\end{cases}
\end{equation}
系统状态随时间的变化可以记为
\begin{equation}
\left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle ~,
\end{equation}
其中 $C_i$ 为常数。令集合 $D_j$ 包含 $q_j$ 对应的所有基底的角标。于是，任意时刻测到 $q_j$ 的概率等于相关系数的模方和
\begin{equation}
P(q_j) = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \right\rvert ^2 = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \right\rvert ^2~
\end{equation}
也是常数。证毕。
由 1 证明 2 要更麻烦一些。我们新开一节，不感兴趣的读者可以跳过。
3. 证明守恒量算符与哈密顿算符对易
先假设能量的本征态基底为 $\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$，系统状态随时间变化为
\begin{equation}
\left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle ~.
\end{equation}
令算符 $Q$ 任意本征值 $q_m$ 对应的本征矢子空间的一组基底为 $\{ \left\lvert v_k \right\rangle \}$，那么任意时刻测得 $q_m$ 的概率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P(q_m) &= \sum_k \left\lvert \left\langle v_k \right\rvert \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \right\rvert ^2\\
&= \sum_k \left(\sum_i C_i \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E_i t} \left\langle v_k \middle| u_i \right\rangle \right) ^\dagger \left(\sum_j C_j \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_j t} \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \\
&= \sum_{i,j} \left(C_i^* C_j \sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (E_i - E_j) t}~,
\end{aligned}
\end{equation}
若 $Q$ 守恒，则要求对于任何 $C_i$ 可能的取值，该式的结果都与时间无关。所以对任意 $i \ne j$ 都有
\begin{equation}
\sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle = 0~.
\end{equation}
稍加思考可以得出要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间中，要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间上的投影为 0。所以任何 $q_m$ 子空间（假设是 $N_m$ 维）同样可以由 $N_m$ 个 $ \left\lvert u_i \right\rangle $ 张成。所以可以找到 $H$ 和 $Q$ 的一套共同本征矢，所以两算符对易。证毕。
1. ^ 如果含时，可以将时间分割成许多小区间，假设每个小区间中 $H$ 不随时间变化。