贡献者： addis
预备知识 傅里叶变换与连续正交归一基底
，
薛定谔方程，原子单位制
本文使用原子单位制。当含时薛定谔方程中势能函数 $V(x) = 0$ 时，有
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \Psi(x,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi(x,t)~.
\end{equation}
一般用分离变量法解该方程，通解为
式 12 。但首先要解出对应的定态薛定谔方程
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi_E(x) = E \psi_E(x)~.
\end{equation}
只有 $E > 0$ 时有可归一化的解，也就是熟悉的
平面波
\begin{equation}
\psi_E(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}~.
\end{equation}
其中 $k = \pm\sqrt{2mE}$，注意定态薛定谔方程具有二重简并，即一个 $E$ 对应两个线性无关解。令 $\omega = E = k^2/2$，则通解为
\begin{equation}
\Psi(x,t) = \int_{0}^{+\infty} \left[A_+(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} + A_-(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (- \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} \right] \,\mathrm{d}{\omega} ~.
\end{equation}
其中第一项是向右移动的平面波，第二项向左移动。一种更简洁的表示方法是做变量替换 $\omega(k) = k^2/(2m)$，把通解记为关于 $k$ 的积分
\begin{equation}
\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} C(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k x - \omega t)} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
直观上来理解，
式 4 和
式 5 都表示许多不同频率的平面波的叠加，所以是等效的，系数 $A_\pm(\omega)$ 和 $C(k)$ 具有对应关系，以后我们会看到他们之间如何
转换。注意
式 5 恰好是 $C(k)$ 的反傅里叶变换（
式 2 ）。当 $t = 0$ 时有
\begin{equation}
C(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,0) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
这样我们就从初始波函数 $\Psi(x,0)$ 得到了系数。
式 5 相当于把波函数在正交归一的基底 $\psi_k(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}/\sqrt{2\pi}$ 展开，满足正交归一条件（式 11 ）
\begin{equation}
\left\langle \psi_{k'} \middle| \psi_k \right\rangle = \delta(k' - k)~,
\end{equation}
我们把这种归一化叫做
动量归一化（原子单位中 $k$ 就是动量）；而
式 4 则把波函数在另一组正交归一基底上展开，这组基底一般使用
能量归一化，其基底 $\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$（方括号中的两项）满足归一化条件
\begin{equation}
\left\langle \psi_{E',i'} \middle| \psi_{E,i} \right\rangle = \delta_{i',i}\delta(E' - E)~,
\end{equation}
详见 “
动量归一化和能量归一化”。
一个简单的例子见 “一维高斯波包（量子）”。
事实上，无论我们使用什么样的初始波包，它接下来的演化都是平淡无奇的，可以定性地划分为匀速移动和扩散。在熟悉了本文以后，我们可以开始考虑一个稍微复杂一些的问题：当势能函数 $V(x)$ 在某个区间不为零时，波包经过这个区间会如何变化？这就是一维散射问题。