贡献者： addis
预备知识 量子力学的基本原理（科普），定态薛定谔方程
，
二阶常系数齐次微分方程
无限深势阱通常被作为量子力学中定态薛定谔方程的第一个例子。这是因为它具有非常简单的解析解。薛定谔方程具有解析解的情况屈指可数，其中无限深势阱和简谐振子要数在之后的教学中最常出现的例子了。
只考察质量为 $m$ 的粒子沿 $x$ 方向的运动情况。势能函数为
\begin{equation}
V(x) =
\begin{cases}
0 \quad &(0 \leqslant x \leqslant a)\\
+\infty &(x < 0 \ \text{或}\ x > a)~.
\end{cases}
\end{equation}
图 1：无限深势阱
在经典力学中，这对应的情景就是一个弹性小球在两面无限硬度的墙之间的运动（无摩擦）。为了更好地把经典力学和量子力学的物理图像对应起来，我们可以假设粒子的初始波函数是势阱内一个带有初速度的波包，在势阱内部来回反弹。但从更量子力学的角度来说，我们应该先看看它的能量本征态（也就是束缚态），毕竟求解波包运动的第一步就是求解后者。
1. 束缚态
定态薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)~.
\end{equation}
这里先直接给出结论，证明见文末。无限深势阱没有散射态1，但有无穷个非简并束缚态。也就是说式 2 有无穷个解（记为 $\psi_n(x)$），且对应的能量本征值 $E$ 各不相同（如果同一个 $E$ 对应多个线性无关解，就叫做简并），记为 $E_n$。
\begin{equation}
E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m a^2} n^2 \qquad (n = 1,2,3\dots)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi }{a} x\right) ~.
\end{equation}
一些教材中也会把势阱中间作为坐标原点，这相当于把这里的势能 $V(x)$ 和所有 $\psi_n(x)$ 都向左移动 $a/2$。能级仍然保持不变，波函数变为（为了简洁适当乘以 $-1$，物理意义不变）
\begin{equation}
\psi_n(x) = \left\{\begin{aligned}
&\sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi}{a} x\right) \qquad (\text{偶数 } n)\\
&\sqrt{\frac{2}{a}} \cos\left(\frac{n\pi}{a} x\right) \qquad (\text{奇数 } n)~,
\end{aligned}\right. \end{equation}
图 2：基态波函数，注意第 $n$ 个函数中间有 $n-1$ 个节点
。
事实上我们可以通过函数平移的方法把势阱移动到任何位置。
把波函数用式 4 的基底展开，是三角傅里叶级数的一个变形（详见式 19 ），注意虽然看上去少了 $\cos$ 基底，但它的确是完备的。
未完成：束缚态的意义，复习一下
2. 推导
先考虑势阱内部（$0 \leqslant x \leqslant a$，$V = 0$），方程变为
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi(x) = E\psi(x) ~,
\end{equation}
这是二阶常系数齐次微分方程。通解为
\begin{equation}
\psi(x) = C_1 \cos\left(kx\right) + C_2 \sin\left(kx\right) ~, \qquad
k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}~.
\end{equation}
通解也可以写成指数函数 $\psi(x) = C \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}$，加上边界条件后得到的束缚态一样。
现在讨论边界条件：在有限深势阱束缚态中将会看到，如果势阱外部势能是有限值，波函数将会按照指数函数衰减，势能越高衰减得越快。而现在势阱外部势能为无穷大，就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零。所以边界条件为
\begin{equation}
\psi(0) = 0, \quad \psi(a) = 0~.
\end{equation}
这两个条件代入以上通解中，解得
\begin{equation}
C_2 = 0, \quad k = \frac{n\pi}{a} \qquad (n = 1,2,3\dots)~.
\end{equation}
$C_1$ 的取值暂时不能确定，但先将通解写为 $\psi(x) = C \sin\left(\frac{n\pi }{a}x\right) $，常数 $C$ 就可以通过波函数的归一化来确定：
\begin{equation}
1 = \int_{-\infty }^{+\infty } \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-a}^{+a} \left\lvert C \sin\left(\frac{n\pi }{a} x\right) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert C \right\rvert ^2 \frac{a}{2}~.
\end{equation}
严格来说，$C$ 可以是复数，解为 $C = \sqrt{2/a} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$。但是为了方便通常把归一化常数中的相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$ 默认为 $1$。所以归一化的波函数为
\begin{equation}
\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi }{a}x\right) ~.
\end{equation}
另外，由
\begin{equation}
\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = k = \frac{n\pi }{a}~,
\end{equation}
可以得出能级是离散的结论。即
\begin{equation}
E_n = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2} n^2 \quad (n = 1,2,3\dots)~.
\end{equation}
1. ^ 这是因为散射态的能量只能取 $E > V(\pm\infty)$。
