图

傅里叶变换(指数)

预备知识 傅里叶级数(指数),傅里叶变换(三角)

结论

   用三角傅里叶变换 中同样的方法可把指数傅里叶级数拓展为指数傅里叶变换

\begin{align} g(k) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x)\E^{-\I kx} \dd{x} \\ f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k)\E^{\I kx} \dd{x} \end{align}
特殊地,当 $f(x)$ 为实函数时,$g(k)$ 的实部是偶函数,虚部是奇函数.

实数函数的情况

   如果实函数 $f(x)$ 的复数傅里叶变换为 $g(k)$, 即

\begin{gather} g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^\infty f(x)\E^{-\I kx} \dd{x}\\ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^\infty g(k)\E^{\I kx} \dd{k} \end{gather}
$g(k)$ 需要满足什么条件才能使 $f(x)$ 是实数呢?我们从式 4 开始入手.
\begin{equation}\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k)\E^{\I kx} + g(-k)\E^{-\I kx}] \dd{k} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k)+g(-k)]\cosRound{kx}\dd{k} + \frac{\I}{\sqrt{2\pi }} \int_0^\infty [g(k)-g(-k)]\sinRound{kx} \dd{k} \end{aligned}\end{equation}
从傅里叶变换(三角函数)我们已知对实数函数,方括号项都必须为实函数,即上式第一个方括号中的虚部为零,第二个方括号中的实部为零,即
\begin{equation}\begin{aligned} g_{Im}(-k) &= -g_{Im}(k) \\ g_{Re}(-k) &= g_{Re}(k) \end{aligned}\end{equation}
所以结论是,当 $f(x)$ 为实函数时,$g(k)$ 的实部是偶函数,虚部是奇函数.由此可得另一个结论
\begin{equation} \abs{g(-k)}=\sqrt{g_{Re}^2(-k)+g_{Im}^2(-k)}=\sqrt{g_{Re}^2(k)+g_{Im}^2(k)} = \abs{g(k)} \end{equation}
即频谱是偶函数.所以对于实数函数,我们只需要 $k > 0$ 的频谱.这与三角傅里叶变换的情况一致.

性质

   为了书写方便我们用算符 $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 表示傅里叶变换和反变换, 即 $\mathcal F f = g$ 以及 $\mathcal F^{-1} g = f$. 算符在这里可以看作 “函数的函数”, 即自变量和因变量都是函数.

\begin{equation} \mathcal F [f(x) \E^{\I k_0 x}] = g(k - k_0) \end{equation}
\begin{equation} \mathcal F^{-1} [g(k) \E^{-\I k x_0}] = f(x - x_0) \end{equation}
也就是说, 给函数乘以 $\E^{\I k_0 x}$ 因子再做傅里叶变换, 等于先对函数做傅里叶变换, 再向右平移 $k_0$. 给函数乘以 $\E^{-\I k x_0}$ 因子再做反傅里叶变换, 等于先对函数做反傅里叶变换, 再向右平移 $x_0$.

   变换前后模长不变

\begin{equation} \int g(k)^* g(k) \dd{k} = \int f(x)^* f(x) \dd{x} \end{equation}

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