不确定性原理

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 平均值,柯西不等式,高斯波包,量子力学的基本原理(量子力学)

1. 相容性与不确定性关系

预备知识 可观测量的相容性

   在现代量子力学中,不确定性已经不算一个原理(公理),而是一个可以推出的关系(定理).

   给定一个可观测量 $X$,定义算符 $\Delta X=X-\langle X \rangle$,则对于任意一个态,

\begin{equation} \begin{aligned} \langle (\Delta X)^2 \rangle &= \langle X^2-2\langle X \rangle X + \langle X \rangle^2 \rangle\\ &=\langle X^2\rangle -2\langle X \rangle \langle X \rangle + \langle X \rangle^2\\ &=\langle X^2 \rangle - \langle X \rangle^2 \end{aligned} \end{equation}

   根据标准差与方差式 9 ,可见式 1 体现的正是大量测量后所得测量值的方差.测量结果不确定度越大,方差也就越大,因此我们可以用方差来衡量不确定性.

定理 1 不确定性关系

   给定两个可观测量 $X$ 和 $Y$,对于任意一个态,必有:

\begin{equation} \langle (\Delta X)^2 \rangle\langle (\Delta Y)^2 \rangle \geq \frac{1}{4} \left\lvert [X, Y] \right\rvert ^2 \end{equation}

  

未完成:引用 Schwartz 不等式

   证明

   首先,注意到一个事实:如果算符 $A=-A^\dagger$(称之为反厄米算符),则其本征值是纯虚数.证明可以类比厄米算符的定理 4

   考虑 Schwartz 不等式以及定理 4 ,可推出

\begin{equation} \langle (\Delta X)\rangle^2\langle (\Delta Y)\rangle^2\geq \left\lvert \langle \Delta X \Delta Y \rangle \right\rvert ^2 \end{equation}

   现在求出式 3 右边.显然有

\begin{equation} \Delta X \Delta Y = \frac{1}{2}[\Delta X, \Delta Y]+\frac{1}{2}\{\Delta X, \Delta Y\} \end{equation}

   其中 $[\Delta X, \Delta Y]$ 是反厄米算符,$\frac{1}{2}\{\Delta X, \Delta Y\}$ 是厄米算符,因此有

\begin{equation} \langle\Delta X \Delta Y\rangle = \underset{\text{纯虚数}}{\frac{1}{2}\langle[\Delta X, \Delta Y]\rangle} + \underset{\text{实数}}{\frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle} \end{equation}

   于是根据式 3 式 5

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert \langle\Delta X \Delta Y\rangle \right\rvert ^2 &= \left\lvert \frac{1}{2}\langle[\Delta X, \Delta Y]\rangle \right\rvert ^2+ \left\lvert \frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle \right\rvert ^2\\ &\leq\langle (\Delta X)\rangle^2\langle (\Delta Y)\rangle^2 \end{aligned} \end{equation}

   把式 6 中的 $ \left\lvert \frac{1}{2}\langle\{\Delta X, \Delta Y\}\rangle \right\rvert ^2$ 剔除,即可得证式 2

   证毕

2. 位置—动量不确定性关系

   设单个粒子一维运动的波函数 $\psi(x)$ 的位置和动量的标准差为 $\sigma_x$ 和 $\sigma_p$.则根据海森堡对易关系定理 6 )和不确定性关系(定理 1 ),可知:

\begin{equation} \sigma_x \sigma_p \geqslant \frac{\hbar}{2} \end{equation}

例 1 无限深势阱的束缚态

   (未完成)证明束缚态满足式 7 ,但不能取等号.

例 2 高斯波包

   已知高斯波包式 1 形为

\begin{equation} \psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x-x_0)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} \end{equation}
波函数的归一化要求 $A_0=(\frac{2a}{\pi})^{1/4}$ 我们来求它的动量和位置的不确定度的乘积 $\sigma_x\sigma_p$.
\begin{equation} \left\langle x \right\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}x \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} =0 \end{equation}
上式中,最后积分式为 0 是因为被积函数为奇函数.

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle p \right\rangle &=- \mathrm{i} \hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\ &=- \mathrm{i} \hbar \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2}[-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\hbar k_0 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}=\hbar k_0 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &\overset{t=x-x_0}{=} \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[t^2+2x_0t+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t} \\ &= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}t^2 \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t} =\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \\ &=\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(2a)^3}}=\frac{1}{4a} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle p^2 \right\rangle &=-\hbar^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}^{2}{}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\ &=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0)^2-2a \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[4a^2(x-x_0)^2-2a-k_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=-(2a\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2\frac{1}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) -\frac{1}{\sqrt{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\Gamma(\frac{1}{2})\\ &=-\sqrt{\frac{a\pi}{2}}(\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2-\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\\ &=\hbar^2a+\hbar^2k_0^2 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_x^2&= \left\langle x^2 \right\rangle - \left\langle x \right\rangle ^2=\frac{1}{4a} \\ \sigma_p^2&= \left\langle p^2 \right\rangle - \left\langle p \right\rangle ^2=\hbar^2a \end{aligned} \end{equation}
式 13
\begin{equation} \sigma_x\sigma_p=\frac{\hbar}{2} \end{equation}
故其满足最小不确定度,即式 7 取等号.因此高斯波包常称为最小不确定度波包.

3. 最小不确定波包

   例 2 中我们展示了高斯波包为最小不确定波包,现在我们来回答这样的问题:什么是最一般的最小不确定波包?

   $ \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2$ 是柯西不等式,要使得等号成立,必须满足 $g=cf$($c$ 为复常数).而对于舍去实部造成得不等式,我们只需令其为 0,则此处也变为等式,即 $ \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \operatorname{Re} ( c \left\langle f \middle| f \right\rangle )=0$.由于内积 $ \left\langle f \middle| f \right\rangle $ 一定为实数,这就意味着 $c$ 一定得是纯虚数.因此,最小不确定成立的充要条件是

\begin{equation} g= \mathrm{i} af,\quad(a\in \mathbb{R}) \end{equation}

   对于坐标-动量,这个判据为

\begin{equation} \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} - \left\langle p \right\rangle \right) \psi= \mathrm{i} a(x- \left\langle x \right\rangle )\psi \end{equation}
容易求得其一般解是:
\begin{equation} \psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x- \left\langle x_0 \right\rangle )^2/2\hbar} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \left\langle p \right\rangle x/\hbar} \end{equation}
显然,这是一个高斯波包.故坐标-动量的最一般的最小不确定波包是一个高斯波包.

  

未完成:为什么一定要忽略实数项?为什么一定存在取等号的情况?


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利