不确定性原理

             

预备知识 平均值,柯西不等式,高斯波包

1. 位置—动量不确定原理

   单个粒子一维运动的波函数 $\psi(x)$ 的位置和动量的标准差为 $\sigma_x$ 和 $\sigma_p$

\begin{equation} \sigma_x \sigma_p \geqslant \frac{\hbar}{2} \end{equation}

例 1 无限深势阱的束缚态

   (未完成)证明束缚态满足式 1

例 2 高斯波包

   (未完成)证明高斯波包可以使式 1 取等号.

2. 不确定原理的拓展

   任意两个物理量 $A$ 和 $B$ 都满足

\begin{equation} \sigma_a \sigma_b \geqslant \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle \end{equation}
式 1 可以看成是该式的特例:令 $A = x, B = p$,根据正则对易关系
\begin{equation} [A, B] = [x, p] = \mathrm{i} \hbar \end{equation}
代入式 2 式 1

3. 证明

   令 $f = (A-a)v$,$g = (B-b)v$,使用柯西不等式

\begin{equation} \sigma_a^2 \sigma_b^2 = \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2 = ( \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle )^2 + ( \operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle )^2 \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle &= \frac{1}{2 \mathrm{i} }( \left\langle f \middle| g \right\rangle - \left\langle g \middle| f \right\rangle ) = \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [(A-a), (B-b)] \middle| v \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
忽略式 4 中的 $ \operatorname{Re} $ 项(大于等于 0),得到式 2 .容易证明,$ \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle $ 必然是一个纯虚数,所以式 2 右边必为实数.
未完成:为什么一定要忽略实数项?为什么一定存在取等号的情况?

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