不确定性原理

             

贡献者: 零穹; addis

预备知识 平均值,柯西不等式,高斯波包

1. 位置—动量不确定原理

   单个粒子一维运动的波函数 $\psi(x)$ 的位置和动量的标准差为 $\sigma_x$ 和 $\sigma_p$

\begin{equation} \sigma_x \sigma_p \geqslant \frac{\hbar}{2} \end{equation}

例 1 无限深势阱的束缚态

   (未完成)证明束缚态满足式 1 ,但不能取等号.

例 2 高斯波包

   已知高斯波包式 1 形为

\begin{equation} \psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x-x_0)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} \end{equation}
波函数的归一化要求 $A_0=(\frac{2a}{\pi})^{1/4}$ 我们来求它的动量和位置的不确定度的乘积 $\sigma_x\sigma_p$.
\begin{equation} \left\langle x \right\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty}x \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} =0 \end{equation}
上式中,最后积分式为 0 是因为被积函数为奇函数.

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle p \right\rangle &=- \mathrm{i} \hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\ &=- \mathrm{i} \hbar \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2}[-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0] \,\mathrm{d}{x} \\ &=\hbar k_0 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\sqrt{\frac{\pi}{2a}}=\hbar k_0 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(x-x_0)^2+2x_0(x-x_0)+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &\overset{t=x-x_0}{=} \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[t^2+2x_0t+x_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t} \\ &= \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty}t^2 \mathrm{e} ^{-2at^2} \,\mathrm{d}{t} =\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \\ &=\frac{ \left\lvert A_0 \right\rvert ^2}{2}\sqrt{\frac{\pi}{(2a)^3}}=\frac{1}{4a} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle p^2 \right\rangle &=-\hbar^2 \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*} \frac{\mathrm{d}^{2}{}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi \,\mathrm{d}{x} \\ &=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[(-2a(x-x_0)+ \mathrm{i} k_0)^2-2a \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=-\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2\int_{-\infty}^{+\infty} \left[4a^2(x-x_0)^2-2a-k_0^2 \right] \mathrm{e} ^{-2a(x-x_0)^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=-(2a\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2\frac{1}{\sqrt{(2a)^3}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) -\frac{1}{\sqrt{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\Gamma(\frac{1}{2})\\ &=-\sqrt{\frac{a\pi}{2}}(\hbar \left\lvert A_0 \right\rvert )^2-\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\hbar^2 \left\lvert A_0 \right\rvert ^2(-2a-k_0^2)\\ &=\hbar^2a+\hbar^2k_0^2 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_x^2&= \left\langle x^2 \right\rangle - \left\langle x \right\rangle ^2=\frac{1}{4a} \\ \sigma_p^2&= \left\langle p^2 \right\rangle - \left\langle p \right\rangle ^2=\hbar^2a \end{aligned} \end{equation}
式 7
\begin{equation} \sigma_x\sigma_p=\frac{\hbar}{2} \end{equation}
故其满足最小不确定度,即式 1 取等号.因此高斯波包常称为最小不确定度波包.

2. 不确定原理的拓展

   任意两个物理量 $A$ 和 $B$ 都满足

\begin{equation} \sigma_a \sigma_b \geqslant \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle \end{equation}
式 1 可以看成是该式的特例:令 $A = x, B = p$,根据正则对易关系
\begin{equation} [A, B] = [x, p] = \mathrm{i} \hbar \end{equation}
代入式 9 式 1

3. 证明

   令 $f = (A-a)v$,$g = (B-b)v$,使用柯西不等式

\begin{equation} \sigma_a^2 \sigma_b^2 = \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2 = ( \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle )^2 + ( \operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle )^2 \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Im} \left\langle f \middle| g \right\rangle &= \frac{1}{2 \mathrm{i} }( \left\langle f \middle| g \right\rangle - \left\langle g \middle| f \right\rangle ) = \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [(A-a), (B-b)] \middle| v \right\rangle \\ &= \frac{1}{2 \mathrm{i} } \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
忽略式 11 中的 $ \operatorname{Re} $ 项(大于等于 0),得到式 9 .容易证明,$ \left\langle v \middle| [A, B] \middle| v \right\rangle $ 必然是一个纯虚数,所以式 9 右边必为实数.

4. 最小不确定波包

   例 2 中我们展示了高斯波包为最小不确定波包,现在我们来回答这样的问题:什么是最一般的最小不确定波包?即使式 9 取等号.我们将证明对于坐标-动量的最一般的最小不确定波包是一个高斯波包.

   回望对不确定原理式 9 的证明,我们注意到在两个地方出现不等式:式 11 中 $ \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2$ 和最后舍去实部 $ \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle $.假若波函数使得这两个地方都成为等式,则这样的波函数便是最小不确定波包.

   $ \left\langle f \middle| f \right\rangle \left\langle g \middle| g \right\rangle \geqslant \left\lvert \left\langle f \middle| g \right\rangle \right\rvert ^2$ 是柯西不等式,要使得等号成立,必须满足 $g=cf$($c$ 为复常数).而对于舍去实部造成得不等式,我们只需令其为 0,则此处也变为等式,即 $ \operatorname{Re} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \operatorname{Re} ( c \left\langle f \middle| f \right\rangle )=0$.由于内积 $ \left\langle f \middle| f \right\rangle $ 一定为实数,这就意味着 $c$ 一定得是纯虚数.因此,最小不确定成立的充要条件是

\begin{equation} g= \mathrm{i} af,\quad(a\in \mathbb{R}) \end{equation}

   对于坐标-动量,这个判据为

\begin{equation} \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} - \left\langle p \right\rangle \right) \psi= \mathrm{i} a(x- \left\langle x \right\rangle )\psi \end{equation}
容易求得其一般解是:
\begin{equation} \psi(x)=A_0 \mathrm{e} ^{-a(x- \left\langle x_0 \right\rangle )^2/2\hbar} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \left\langle p \right\rangle x/\hbar} \end{equation}
显然,这是一个高斯波包.故坐标-动量的最一般的最小不确定波包是一个高斯波包.

  

未完成:为什么一定要忽略实数项?为什么一定存在取等号的情况?


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