重积分的换序、Fubini 定理(简明微积分)

             

贡献者: addis

预备知识 重积分

  1以矩形区域的二重定积分为例,什么时候可以交换积分的顺序呢?即

\begin{equation} \int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2} f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} = \int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2} f(x, y) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
乍看之下,二重积分是曲面下面的体积,无论先算哪个都不会变.但我们来看一个例子

例 1 

\begin{equation} f(x, y) = \frac{x - y}{(x+y)^3} \end{equation}

图
图 1:式 2 函数曲面图

   该函数在 $(0,0)$ 处有一个奇点,即没有定义.但是 $x \in (0, 1]$,$y \in (0, 1]$ 的重积分仍然收敛

\begin{equation} \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} = -\frac{1}{2} \qquad \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2} \end{equation}
注意交换顺序以后发现结果竟然不同!
未完成:函数关于 $y = x$ 反对称,两个三角形,积分分别为无穷大和无穷小,延着斜线积分 $ \,\mathrm{d}{(x+y)} \,\mathrm{d}{(x-y)} $ 等于零.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面相关页面


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