幺正变换

             

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预备知识 内积 内积空间,幺正变换 酉矩阵

定义 1 幺正变换

   对有限维赋范空间中的线性变换 $U: V\to V$,若对任意 $u, v \in V$ 都满足变换前后内积不变,即 $ \left\langle Uu \middle| Uv \right\rangle = \left\langle u \middle| v \right\rangle $,那么 $U$ 就称为一个(有限维的)幺正变换(unitary transform)

定理 1 

   有限维赋范空间中的线性变换 $U: V\to V$ 是幺正变换当且仅当对任意 $v\in V$ 都有 $ \left\lVert Uv \right\rVert = \left\lVert v \right\rVert $.

定理 2 

   有限维幺正变换 $U: V\to V$ 在 $V$ 中一组正交归一基底 $ \left\{e_i \right\} $ 下可以表示为酉矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $.

   我们知道正交归一基底 $ \left\{e_i \right\} $ 下,线性算符 $A:V\to V$ 可以表示为矩阵,矩阵元为(链接未完成)$A_{i,j} = \left\langle e_i \middle| A \middle| e_j \right\rangle $.

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