傅里叶变换(三角)

             

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预备知识 傅里叶级数(三角)

   平方可积的函数都可以用正弦和余弦函数来展开

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\infty} A(k) \cos\left(kx\right) + B(k) \sin\left(kx\right) \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} &A(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &B(k) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(kx\right) f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{aligned} \end{equation}

   为了把整个实数范围的非周期函数用三角函数展开,在三角傅里叶级数中我们取极限 $l\to\infty$ 这时角频率的间隔趋于 0.

\begin{equation} \Delta k = k_{n+1} - k_n = \frac{(n+1)\pi}{l} - \frac{n\pi}{l} = \frac{\pi}{l} \to 0 \end{equation}

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