误差函数

             

预备知识 高斯积分

  1误差函数(error function)的定义为

\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这是一个奇函数.根据式 5
\begin{equation} \operatorname{erf} (\pm\infty) = \pm 1 \end{equation}
式 13 ,误差函数的导数为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \operatorname{erf} (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-x^2} \end{equation}
即 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 的不定积分(原函数)为
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf} (x) + C \end{equation}

级数展开

预备知识 泰勒级数

   由指数函数的级数展开得

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (-x^2)^n = \sum_n \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n} \end{equation}
对各项做不定积分代入式 4 可得误差函数的级数展开为
\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} \dots \right) \end{equation}

例 1 

   令 $a$ 为实数且 $a > 0$,计算不定积分

\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   解:我们可以先将指数部分凑平方得

\begin{equation} -ax^2 + bx = -t^2 + \frac{b^2}{4a} \end{equation}
其中
\begin{equation} t = \sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \qquad \end{equation}
使用上式进行换元积分得
\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\sqrt{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \int \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) \end{equation}

例 2 

   计算无穷积分(即 $e^{-ax^2}$ 的傅里叶变换

\begin{equation} g(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
令 $b = - \mathrm{i} k$,使用例 1 的结论有
\begin{equation} g(k) = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)} \left. \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x + \frac{ \mathrm{i} k}{2\sqrt{a}} \right) \right\rvert _{-\infty}^{+\infty} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利