误差函数

贡献者： addis

预备知识 1　高斯积分

图 1：误差函数

　　¹误差函数（error function）的定义为

\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} ~, \end{equation}

这是一个奇函数（图 1 ）。根据式 5 有

\begin{equation} \operatorname{erf} (\pm\infty) = \pm 1~. \end{equation}

由式 13 ，误差函数的导数为

\begin{equation} \operatorname{erf} '(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e} ^{-x^2}~. \end{equation}

即 $ \mathrm{e} ^{-x^2}$ 的不定积分（原函数）为

\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \operatorname{erf} (x) + C~. \end{equation}

　　误差函数的反函数称为反误差函数（inverse error function），记为 $ \operatorname{erf} ^{-1}$，定义域为 $(-1,1)$。

1. 级数展开

预备知识 2　泰勒级数

　　由指数函数的级数展开得

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (-x^2)^n = \sum_n \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n}~. \end{equation}

对各项做不定积分代入式 4 可得误差函数的级数展开为

\begin{equation} \operatorname{erf} (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} \dots \right) ~. \end{equation}

由该式可以把误差函数拓展到复数域。

例 1　

　　令 $a$ 为实数且 $a > 0$，计算不定积分

\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

　　解：我们可以先将指数部分凑平方得

\begin{equation} -ax^2 + bx = -t^2 + \frac{b^2}{4a}~, \end{equation}

其中

\begin{equation} t = \sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \qquad~, \end{equation}

使用上式进行换元积分得

\begin{equation} \int \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{\sqrt{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \int \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{{b^2}/(4a)} \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x - \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) ~. \end{equation}

例 2　

　　计算无穷积分（即 $e^{-ax^2}$ 的傅里叶变换）

\begin{equation} g(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

令 $b = - \mathrm{i} k$，使用例 1 的结论有

\begin{equation} g(k) = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)} \left. \operatorname{erf} \left(\sqrt{a} x + \frac{ \mathrm{i} k}{2\sqrt{a}} \right) \right\rvert _{-\infty}^{+\infty} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{e} ^{-{k^2}/(4a)}~. \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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