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狄拉克 delta 函数

预备知识 定积分

   在物理中我们经常会遇到一些模型, 如质点和点电荷等, 这类模型使用了极限的思想(如令体积趋于无穷小). 如果考察质点的密度或点电荷的电荷密度, 将得到无穷大, 然而将其密度(电荷密度)在空间中积分却又能得到有限的质量与电荷. 为了描述这样的密度(电荷密度)分布, 我们引入狄拉克 $\delta$ 函数.

一维情况

图
图1:$\delta(x - x_0)$ 的几个例子

   我们来考虑一个函数(图 1 左)

\begin{equation} f(x) = \leftgroup{ &h &\quad & \qtyRound{ \abs{x - x_0} \leqslant \frac{1}{2h} }\\ &0 & & \qtyRound{ \abs{x - x_0} > \frac{1}{2h} } }\end{equation}
其中 $h, x_0$ 是常数. 由函数图像易得函数曲线下面的面积为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dd{x} = 1$. 现在我们令 $h \to 0$, 长方形的高将趋于无穷大, 宽将趋于零, 而定积分结果不变.

   我们定义狄拉克 $\delta$ 函数1 $\delta(x)$ 为满足以下两个性质的函数2

\begin{align} &\delta(x) = \leftgroup{ +&\infty &\quad& (x = 0)\\ &0 && (x \ne 0)}\\ &\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \dd{x} = 1 \end{align}
这样, 上面的 $f(x)$ 就可以表示为 $\delta(x - x_0)$. 当然, 我们还可以选取其他含有参数的 $f(x)$ 来逼近 $\delta$ 函数, 如图 1 中的另外两种函数.

例1 高斯波包

   我们来

性质

   对任意连续函数 $f(x)$, 有

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \dd{x}= f(x_0) \end{equation}
要证明这个性质, 我们可以把积分上下限变为 $x_0 \pm \epsilon$, 这样并不会改变积分结果, 因为在区间 $[x_0+\epsilon, +\infty)$ 和 $(-\infty, x_0 - \epsilon]$ 中, $\delta(x-x_0) = 0$. 然后我们令 $\epsilon\to 0$, 这样 $f(x)$ 在 $[x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon]$ 区间内的值就趋近于常数 $f(x_0)$. 所以有
\begin{equation}\ali{ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x - x_0) \dd{x} &= \int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} f(x) \delta(x - x_0)\dd{x} \\ &= f(x_0)\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} \delta(x - x_0)\dd{x} = f(x_0) }\end{equation}
证毕.

   $\delta$ 函数的另一个性质是

\begin{equation} \delta(ax) = \frac{1}{\abs{a}} \delta(x) \end{equation}
我们不妨从几何上来证明这个性质, 与 $\delta(x)$ 相比较, $\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向缩小了 $\abs{a}$ 倍(当 $a < 0$ 时, 还另需要关于 $y$ 轴翻转), 所以 $\delta(ax)$ 下的面积是 $1/\abs{a}$(注意翻转并不影响面积), 故 $\abs{a}\delta(ax)$ 下的面积是 $1$, 且满足式 3 式 4 , 所以有 $\abs{a}\delta(ax) = \delta(x)$. 证毕.

三维情况


1. 严格来说, 这并不是一个数学上的函数, 但在物理中却经常出现.
2. 事实上,$\delta(x)$ 并不是数学中一个严格意义上的函数, 而是被称为广义函数.

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