图

科里奥利力

预备知识 离心力,平面旋转矩阵

   科里奥利力(Coriolis Force)是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力.

\begin{equation} \bvec F_c = 2m \bvec v_{abc} \cross \bvec \omega \end{equation}
其中 $\bvec v_{abc}$ 是质点相对于旋转参考系 $abc$ 的瞬时速度, $\bvec\omega$ 是旋转系相对于某惯性系 $xyz$ 转动的角速度矢量.式中的乘法是叉乘. 在匀速转动参考系(属于非惯性系)中,若质点保持相对静止,则惯性力只有离心力.然而当质点与转动参考系有相对速度时,惯性力中还会增加一个与速度垂直的力,这就是科里奥利力.地理中的地转偏向力就是科里奥利力,可用上式计算(见“地球表面的科里奥利力”).

推导(矢量法)

预备知识 连续叉乘的化简

   这里首先给出一个较符合直觉的结论(暂时不证). 若 $abc$ 系相对 $xyz$ 系以角速度 $\bvec\omega$ 旋转, 对任意一个随时间变化的矢量(假设一阶导数存在), 我们把它在 $xyz$ 和 $abc$ 系中的时间导数分别记为 $(\dvStarTwo{\bvec A}{t})_{xyz}$ 和 $(\dvStarTwo{\bvec A}{t})_{abc}$, 则有

\begin{equation} \qtyRound{\dvTwo{\bvec A}{t}}_{xyz} = \qtyRound{\dvTwo{\bvec A}{t}}_{abc} + \bvec\omega\cross\bvec A \end{equation}

例1 

   令 $abc$ 系 $t = 0$ 时与 $xyz$ 系重合并绕 $z$ 轴逆时针匀速转动, 又令 $\bvec A(t) = \alpha t \uvec a$, 验证 $\bvec A(t)$ 满足式 2

   首先将 $\bvec A(t)$ 用 $\uvec x, \uvec y$ 基底表示为 $\bvec A(t) = \alpha t (\cos\omega t\, \uvec x + \sin\omega t\, \uvec y)$, 对其求导得

\begin{equation} \qtyRound{\dvTwo{\bvec A}{t}}_{xyz} = \alpha (\cos\omega t \,\uvec x + \sin\omega t \,\uvec y) + \alpha\omega t (-\sin\omega t \,\uvec x + \cos\omega t \,\uvec y) \end{equation}
而在 $abc$ 系中求导为
\begin{equation} \qtyRound{\dvTwo{\bvec A}{t}}_{abc} = \alpha \uvec a = \alpha (\cos\omega t\, \uvec x + \sin\omega t \,\uvec y) \end{equation}
最后,
\begin{equation} \bvec\omega \cross \bvec A = (\omega \uvec c) \cross (\alpha t \uvec a) = \alpha\omega t \uvec c\cross\uvec a = \alpha\omega t \uvec b = \alpha\omega t(-\sin \omega t \,\uvec x + \cos\omega t \,\uvec y) \end{equation}
将以上三式代入式 2 可验证式 2 成立. 注意以上我们将所有的矢量用 $\uvec x, \uvec y$ 基底表示, 类似地, 我们也可以将所有矢量用 $\uvec a, \uvec b$ 表示, 等式同样成立.

   我们先令 $\bvec A$ 为质点的位矢 $\bvec r$, 得参考系中质点的速度关系为

\begin{equation} \bvec v_{xyz} = \bvec v_{abc} + \bvec\omega\cross\bvec r \end{equation}
两边在 $xyz$ 系中对时间求导得
\begin{equation} \bvec a_{xyz} = \qtyRound{\dvTwo{\bvec v_{abc}}{t}}_{xyz} + \bvec\omega\cross\bvec v_{xyz} \end{equation}
注意 $abc$ 系中的加速度 $\bvec a_{abc}$ 并不是上式右边第一项, 而是 $(\dvStarTwo{\bvec v_{abc}}{t})_{abc}$. 令式 2 中的 $\bvec A = \bvec v_{abc}$, 得
\begin{equation} \qtyRound{\dvTwo{\bvec v_{abc}}{t}}_{xyz} = \bvec a_{abc} + \bvec\omega\cross\bvec v_{abc} \end{equation}
式 6 式 8 代入式 7 , 得
\begin{equation} \bvec a_{xyz} = \bvec a_{abc} + 2\bvec\omega\cross\bvec v_{abc} + \bvec\omega\cross(\bvec\omega\cross\bvec r) \end{equation}
所以旋转参考系中的总惯性力(式 1 )为
\begin{equation} \bvec f = m(\bvec a_{abc} - \bvec a_{xyz}) = -2m\bvec\omega\cross\bvec v_{abc} - m\bvec\omega\cross(\bvec\omega\cross\bvec r) \end{equation}
其中第二项为离心力(式 5 ), 而第一项被称为科里奥利力.

推导(旋转矩阵法)

   设空间中存在一个惯性系 $xyz$ 和一个非惯性系 $abc$ 相对于惯性系 $xyz$ 绕 $z$ 轴以角速度 $\omega$ 逆时针匀速旋转(右手定则). 由于 $z$ 轴和 $c$ 轴始终重合( $z=c$), 只需要考虑 $x,y$ 坐标和 $a,b$ 坐标之间的关系即可.

   令平面旋转矩阵为

\begin{equation} \mat R(\theta) \equiv \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{equation}
其意义是把坐标逆时针旋转角 $\theta$. 两坐标系之间的坐标变换为
\begin{equation} \pmat{x\\y}_{xyz} = \mat R(\omega t) \pmat{a\\b}_{abc} \qquad \pmat{a\\b}_{abc} = \mat R(-\omega t) \pmat{x\\y}_{xyz} \end{equation}
为了得到质点在惯性系中的加速度,对上面左式的 $(x,y)\Tr$ 求二阶时间导数得1 $xyz$ 系中的加速度(以 $\uvec x, \uvec y$ 为基底)
\begin{equation} \bvec a_{xyz} = \pmat{\ddot x \\ \ddot y}_{xyz} = \ddot{\mat R}(\omega t) \pmat{a\\b} + 2\dot{\mat R} (\omega t) \pmat{\dot a \\ \dot b} + \mat R(\omega t)\pmat{\ddot a \\ \ddot b} \end{equation}
其中2
\begin{equation} \dot{\mat R}(\omega t) = \omega \begin{pmatrix} \cosRound{\omega t + \pi /2} & - \sinRound{\omega t + \pi /2}\\ \sinRound{\omega t + \pi /2} & \cosRound{\omega t + \pi /2} \end{pmatrix} = \omega \mat R(\omega t + \pi /2) \end{equation}
\begin{equation} \ddot{\mat R} (\omega t) = - \omega ^2 \mat R (\omega t) \end{equation}
代入式 13
\begin{equation} \bvec a_{xyz} = - \omega ^2 \mat R(\omega t)\pmat{a\\b} + 2\omega \mat R(\omega t + \pi /2)\pmat{\dot a \\ \dot b} + \mat R(\omega t)\pmat{\ddot a \\ \ddot b} \end{equation}
上式中的每一项都是以 $\uvec x, \uvec y, \uvec z$ 为基底的坐标.所有坐标乘以 $\mat R(-\omega t)$, 得到以 $\uvec a, \uvec b, \uvec c$ 为基底的坐标
\begin{equation} \bvec a_{xyz} = - \omega^2 \pmat{a\\b}_{abc} + 2\omega \mat R(\pi /2)\pmat{\dot a\\ \dot b}_{abc} + \pmat{\ddot a\\ \ddot b}_{abc} \end{equation}
所以旋转参考系中的总惯性力(式 1 )为(以 $\uvec a, \uvec b, \uvec c$ 为基底)
\begin{equation} \bvec f = m(\bvec a_{abc} - \bvec a_{xyz}) = m \omega ^2 \pmat{a\\b}_{abc} - 2m\omega \mat R(\pi /2)\pmat{\dot a\\ \dot b}_{abc} \end{equation}
其中第一项是已知的离心力式 3 , 我们将第二项定义为科里奥利力 $\bvec F_c$. 科里奥利力可以用叉乘记为
\begin{equation} \bvec F_c = 2m \bvec v_{abc} \cross \bvec \omega \end{equation}
其中 $\bvec\omega$ 是 $abc$ 系旋转的角速度矢量, $\bvec v_{abc}$ 是质点相对于 $abc$ 系的速度.最后, 我们可以写出式 18 的矢量形式
\begin{equation} \bvec f = m \omega ^2 \bvec r + 2m \bvec v_{abc} \cross \bvec \omega \end{equation}


1. 某个量上方加一点表示对时间的一阶导数,两点表示对时间的二阶导数.
2. 式 14 式 15 相当于用矩阵推导了匀速圆周运动的速度和加速度公式

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