图

科里奥利力

预备知识 离心力,平面旋转矩阵

   科里奥利力(Coriolis Force)是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力.

\begin{equation} \bvec F_c = 2m \bvec v_{S'} \cross \bvec \omega \end{equation}
其中 $\bvec v_{S'}$ 是质点相对于旋转参考系 $S'$ 的瞬时速度, $\bvec\omega$ 是旋转系相对于某惯性系 $S$ 转动的角速度矢量.式中的乘法是叉乘. 在匀速转动参考系(属于非惯性系)中,若质点保持相对静止,则惯性力只有离心力.然而当质点与转动参考系有相对速度时,惯性力中还会增加一个与速度垂直的力,这就是科里奥利力.地理中的地转偏向力就是科里奥利力,可用上式计算(见“地球表面的科里奥利力”).

推导

预备知识 连续叉乘的化简, 圆周运动的速度, 加速度的坐标变换

   我们可以直接根据惯性力的定义(式 1 ) 和加速度的坐标变换(式 3 ) 得到任意非惯性系 $S'$ 中质点的总惯性力($S$ 为任意惯性系) 为

\begin{equation} \bvec F_c = m( \bvec a_{S'} - \bvec a_{S} ) = -m\bvec a_{r} + 2 m \bvec v_{S'} \cross \bvec \omega \end{equation}
其中第一项包含平移惯性力和转动惯性力, 转动惯性力又可划分为离心力以及角加速度产生的惯性力(见式 8 ), 但与质点相对 $S'$ 的速度无关, 所以只将科里奥利力定义为第二项.

另一种推导

   类比式 1 , 若 $S'$ 系与 $S$ 系原点始终重合, 且相对 $S$ 系以角速度 $\bvec\omega$ 旋转, 对任意一个随时间变化的矢量(假设一阶导数存在), 我们把它在 $S$ 和 $S'$ 系中的时间导数分别记为 $(\dot{\bvec A})_{S}$ 和 $(\dot{\bvec A})_{S'}$, 则有

\begin{equation} (\dot{\bvec A})_{S} = (\dot{\bvec A})_{S'} + \bvec\omega\cross\bvec A \end{equation}
最有一项参考式 5 . 注意该式中的矢量为几何矢量 而不是列矢量, 若要将该式记为坐标形式, 应该使用同一坐标系

   我们先将 $\bvec A$ 替换为质点的位矢 $\bvec r$, 得参考系中质点的速度关系为(即式 1

\begin{equation} \bvec v_{S} = \bvec v_{S'} + \bvec\omega\cross\bvec r \end{equation}
两边在 $S$ 系中对时间求导得
\begin{equation} \bvec a_{S} = (\dot{\bvec v}_{S'})_{S} + \bvec\omega\cross\bvec v_{S} + \dot{\bvec\omega} \cross\bvec r \end{equation}
注意 $S'$ 系中的加速度 $\bvec a_{S'}$ 并不是 $(\dot{\bvec v}_{S'})_{S}$, 而是 $(\dot{\bvec v}_{S'})_{S'}$. 令式 3 中的 $\bvec A = \bvec v_{S'}$, 得
\begin{equation} (\dot{\bvec v_{S'}})_{S} = \bvec a_{S'} + \bvec\omega\cross\bvec v_{S'} \end{equation}
式 4 式 6 代入式 5 , 得
\begin{equation} \bvec a_{S} = \bvec a_{S'} + 2\bvec\omega\cross\bvec v_{S'} + \bvec\omega\cross(\bvec\omega\cross\bvec r) + \dot{\bvec\omega} \cross\bvec r \end{equation}
所以旋转参考系中的总惯性力(式 1 )为
\begin{equation} \bvec f = m(\bvec a_{S'} - \bvec a_{S}) = 2m\bvec v_{S'}\cross \bvec\omega -m\bvec\omega\cross(\bvec\omega\cross\bvec r) - m \dot{\bvec\omega} \cross\bvec r \end{equation}
其中第一项被称为科里奥利力(唯一一项与 $\bvec v_{S'}$ 有关的), 第二项为离心力(式 5 ), 第三项为角加速度产生的惯性力.

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