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比奥萨伐尔定律

预备知识 线积分

闭合回路的磁场

   若已知空间中的电流分布, 比奥萨伐尔定律(Biot–Savart law)给出了任意一点的磁场分布. 我们先讨论一种角为简单的情况, 即一根粗细不计的闭合导线中的恒定电流产生的磁场. 如果有多个这样的导线, 可以分别计算它们的磁场并叠加即可. 假设导线中电流为 $I$, 空间中任意位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的磁场可以用线积分表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2} \end{equation}
其中积分路径是导线所在的环路, 延某个指定的正方向进行. 如果电流也是沿正方向, 那么 $I$ 大于零, 否则小于零. $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是导线上某点的位置, $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的单位矢量, $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $ 是模长.

   使用这个公式需要注意两点. 第一, 电流及其分布不随时间变化. 这点可以从 “不存在瞬时作用” 理解, 假设某时刻电流突然从 0 变为某个值, 由于电磁场传播需要一定时间, 环路上不可能瞬间出现磁场. 第二, 空间中不能有变化的电场, 因为变化的电场也会产生磁场.

详细说明

   比奥萨伐尔定律是电磁学的基本假设之一,所以以下并不是推导,而是解释公式的意义.

   一个粗细忽略不计的电流回路中有电流 $I$, 如何确定该回路在空间中任意一点所产生的磁场呢? 由于磁场与电场一样可以叠加,我们可以把回路划分成极小的线段,分别计算每个小线段在某点产生的磁场,然后求和.当这些小线段的长度趋近于零,求和就变成了积分.那如何计算一小段长度为 $ \,\mathrm{d}{l} $ 的电流(电流元)产生的磁场呢? 如图( $ \,\mathrm{d}{l} $ 存在正方向,与 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的夹角为 $\theta$ ),为了表示电流的方向,我们先把 $ \,\mathrm{d}{l} $ 变为矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $, 方向为电流的正方向(当 $I > 0$ 时,电流方向与 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $ 相同, $I < 0$ 时相反).现在我们要求空间中任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ (把这点叫做场点)的磁场,设电流元的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ (把这点叫做原点),且设

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \end{equation}
首先,磁场大小正比于 $I$, 这是合理的,因为如果把两小段电流元重叠放在一起,那么根据叠加原理,任何地方的磁场都会增加一倍.其次,与点电荷的电场(库仑定律)类似,场强与距离的平方成反比.最后,由于电流有特定的方向,磁场不再具有球对称,但具有柱对称.磁场大小正比于 $ \left\lvert \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert = R \sin\theta \,\mathrm{d}{l} $ (磁场方向垂直于 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 所在平面,符合右手定则,见矢量的叉乘).这说明,在 $I$ 和 $R$ 不变时,垂直于电流元的点( $\theta = \pi /2$ )具有最大场强,与其共线的点( $\theta = 0$ )场强为零.

   要注意的是,虽然我们是对单独一个 $I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $ 分析,但稳定的电流元在现实中并不存在.因为线电流必须组成环路,否则在两个端点处就会分别积累大量的异号电荷(见电流的连续性),从而产生变化的电场及磁场,而在静态电磁场问题中,我们要求净电荷和电流的分布不随时间改变.所以在利用比奥萨伐尔公式时,必须要以对整个闭合回路积分 (无穷长直导线或者螺线管等理想化问题除外)若给所有的小电流源编号为 $I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} _i} $, 令第 $i$ 个电流源的起点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '_i$, $ \boldsymbol{\mathbf{R}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '_i$.把所有电场矢量相加,变为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \sum\limits_i \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} _i} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} _i}{R_i^2} \end{equation}
当电流元无穷短,数量无穷多的时候,上式写为积分的形式,且由于第 $i$ 个电流元的终点就是第 $i+1$ 个电流元的起点, $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} _i} = \boldsymbol{\mathbf{r}} '_{i + 1} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '_i = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} $, 矢量积分写为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2} \end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是场点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和源点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数,积分时把 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为常数而对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 积分.为了使公式更明确,在难度较大的电磁学教材中把上式直接记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \end{equation}

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图 1:无限长直导线的电场

例1 无限长直导线的电场

   如图 1 , 令导线与 $x$ 轴重合, 并使原点到场点的距离最近, 有 $x = r\tan\theta$, 微分得 $ \left\lvert \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \right\rvert = \,\mathrm{d}{x} = r\sec^2\theta \,\mathrm{d}{\theta} $, 另有 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \sin\left(\theta + \pi/2\right) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \cos\theta $, $R = r/\cos\theta$. 代入式 4

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(r \sec^2\theta \,\mathrm{d}{\theta} ) \cos\theta}{r^2/\cos\theta^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac Ir \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac Ir \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
可见磁场大小与距离 $r$ 成反比, 总是垂直于导线, 且方向符合右手定则.

矢量积分的计算方法

   比奥萨伐尔定律的积分中含有矢量微元的叉乘,看起来和普通的矢量积分不同,但是在常见的简单问题中,可以从几何理解上直接转换为标量的积分(见无限长直导线的磁场和环形电流轴线的磁场).如果是更一般的问题,则可以把叉乘分解成 3 个分量,然后变为 6 个标量积分

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} &= \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \,\mathrm{d}{x'} & \,\mathrm{d}{y'} & \,\mathrm{d}{z'} \\ x - x' & y - y' & z - z' \end{vmatrix}\\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} [(z - z') \,\mathrm{d}{y'} - (y - y') \,\mathrm{d}{z'} ] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} [\dots] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} [\dots] \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \\ & = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left[\oint \frac{1}{R^3} (z - z') \,\mathrm{d}{y'} - \oint \frac{1}{R^3} (y - y') \,\mathrm{d}{z'} \right] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} [\dots] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} [\dots] \end{aligned} \end{equation}

电流密度的形式

   假设电流的空间分布是连续变化的而不能看成一条截面不计曲线,我们需要用电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 来表示空间的电流分布.现在考虑一个粗细不能忽略的环路, $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 处的截面积为 $A$ (取截面时应垂直于电流),通过截面的电流为 $I = A \boldsymbol{\mathbf{J}} $, 所以电流元变为 $I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \boldsymbol{\mathbf{J}} A \,\mathrm{d}{l} = \boldsymbol{\mathbf{J}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{V} $ (根据定义, $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 的正方向相同), $ \,\mathrm{d}{V} $ 是电流元的体积.于是比奥萨伐尔定律的环路积分变为体积分

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
注意积分内的电流密度是关于源点的函数而不是场点的函数.理论上,体积分应该在导线内部进行,然而导线外部电流密度为零,故积分可以对全空间进行.类比式 5 , 更明确的写法是
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
积分时 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为常数.

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