图

比奥萨伐尔定律

结论

\begin{equation} \bvec B(\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \dd{\bvec r'} \cross \uvec R}{R^2} \end{equation}

说明

   比奥萨伐尔定律是一个定律, 即电磁学的基本假设之一,所以以下并不是推导,而是解释公式的意义.

   一个粗细忽略不计的电流回路中有电流 $I$, 如何确定该回路在空间中任意一点所产生的磁场呢? 由于磁场与电场一样可以叠加,我们可以把回路划分成极小的线段,分别计算每个小线段在某点产生的磁场,然后求和.当这些小线段的长度趋近于零,求和就变成了积分.那如何计算一小段长度为 $\dd{l}$ 的电流(电流元)产生的磁场呢? 如图( $\dd{l}$ 存在正方向,与 $\bvec R$ 的夹角为 $\theta$ ),为了表示电流的方向,我们先把 $\dd{l}$ 变为矢量 $\dd{\bvec l}$, 方向为电流的正方向(当 $I > 0$ 时,电流方向与 $\dd{\bvec l}$ 相同, $I < 0$ 时相反).现在我们要求空间中任意一点 $\bvec r$ (把这点叫做场点)的磁场,设电流元的位置为 $\bvec r$ (把这点叫做原点),且设

\begin{equation} \bvec R = \bvec r - \bvec r' \end{equation}
首先,磁场大小正比于 $I$, 这是合理的,因为如果把两小段电流元重叠放在一起,那么根据叠加原理,任何地方的磁场都会增加一倍.其次,与点电荷的电场(库仑定律)类似,场强与距离的平方成反比.最后,由于电流有特定的方向,磁场不再具有球对称,但具有柱对称.磁场大小正比于 $\abs{\dd{\bvec l} \cross \bvec R} = R \dd{l} \sin\theta $ (磁场方向垂直于 $\dd{\bvec l}$ 和 $\bvec R$ 所在平面,符合右手定则,见矢量的叉乘).这说明,在 $I$ 和 $R$ 不变时,垂直于电流元的点( $\theta = \pi /2$ )具有最大场强,与其共线的点( $\theta = 0$ )场强为零.

   要注意的是,虽然我们是对单独一个 $I\dd{\bvec l}$ 分析,但稳定的电流元在现实中并不存在.因为线电流必须组成环路,否则在两个端点处就会分别积累大量的异号电荷(见电流的连续性),从而产生变化的电场及磁场,而在静态电磁场问题中,我们要求净电荷和电流的分布不随时间改变.所以在利用比奥萨伐尔公式时,必须要以对整个闭合回路积分 (无穷长直导线或者螺线管等理想问题除外若给所有的小电流源编号为 $I\dd{\bvec l_i}$, 令第 $i$ 个电流源的起点为 $\bvec r'_i$, $\bvec R_i = \bvec r - \bvec r'_i$.把所有电场矢量相加,变为

\begin{equation} \bvec B (\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \sum\limits_i \frac{I \dd{\bvec l_i} \cross \bvec R_i}{R_i^2} \end{equation}
当电流元无穷短,数量无穷多的时候,上式写为积分的形式,且由于第 $i$ 个电流元的终点就是第 $i+1$ 个电流元的起点, $\dd{\bvec l_i} = \bvec r'_{i + 1} - \bvec r'_i = \dd{\bvec r'}$, 矢量积分写为
\begin{equation} \bvec B (\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I\dd{\bvec r'} \cross \uvec R}{R^2} \end{equation}
注意 $\bvec R$ 是场点 $\bvec r$ 和源点 $\bvec r'$ 的函数,积分时把 $\bvec r$ 视为常数而对 $\bvec r'$ 积分.为了使公式更明确,在难度较大的电磁学教材中把上式直接记为
\begin{equation} \bvec B(\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \dd{\bvec r'} \cross (\bvec r - \bvec r')}{\abs{\bvec r - \bvec r'}^3} \end{equation}

图
图1:无限长直导线的电场
例1 无限长直导线的电场

   如图 1 , 令导线与 $x$ 轴重合, 并使原点到场点的距离最近, 有 $x = r\tan\theta$, 微分得 $\abs{\dd{\bvec r'}} = \dd{x} = r\sec^2\theta\dd{\theta}$, 另有 $\uvec x\cross\uvec R = \uvec z\sinRound{\theta + \pi/2} = \uvec z\cos\theta $, $R = r/\cos\theta$. 代入式 4

\begin{equation} \bvec B = \frac{\mu_0}{4\pi} I \uvec z\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(r \sec^2\theta \dd{\theta}) \cos\theta}{r^2/\cos\theta^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac Ir \uvec z\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \dd{\theta} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac Ir\uvec z \end{equation}
可见磁场大小与距离 $r$ 成反比, 总是垂直于导线, 且方向符合右手定则.

矢量积分的计算方法

   比奥萨伐尔定律的积分中含有矢量微元的叉乘,看起来和普通的矢量积分不同,但是在常见的简单问题中,可以从几何理解上直接转换为标量的积分(见无限长直导线的磁场和环形电流轴线的磁场).如果是更一般的问题,则可以把叉乘分解成 3 个分量,然后变为 6 个标量积分

\begin{equation}\ali{ \dd{\bvec r'} \cross \bvec R &= \begin{vmatrix} \uvec x & \uvec y & \uvec z\\ \dd{x'} & \dd{y'} & \dd{z'}\\ x - x' & y - y' & z - z' \end{vmatrix}\\ &= \uvec x [(z - z')\dd{y'} - (y - y')\dd{z'}] + \uvec y [\dots] + \uvec z[\dots] }\end{equation}
\begin{equation}\ali{ \bvec B(\bvec r) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I\dd{\bvec r'} \cross \uvec R}{R^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{\dd{\bvec r'} \cross \bvec R}{R^3} \\ & = \uvec x \frac{\mu_0 I}{4\pi} \qtySquare{ \oint \frac{1}{R^3} (z - z') \dd{y'} - \oint \frac{1}{R^3} (y - y') \dd{z'} } + \uvec y[\dots] + \uvec z[\dots] }\end{equation}

电流密度的形式

   假设电流的空间分布是连续变化的而不能看成一条截面不计曲线,我们需要用电流密度 $\bvec J$ 来表示空间的电流分布.现在考虑一个粗细不能忽略的环路, $\bvec r'$ 处的截面积为 $A$ (取截面时应垂直于电流),通过截面的电流为 $I = A\bvec J$, 所以电流元变为 $I \dd{\bvec l} = \bvec JA \dd{l} = \bvec J \vdot \dd{V}$ (根据定义, $\dd{\bvec l}$ 与 $\bvec J$ 的正方向相同), $\dd{V}$ 是电流元的体积.于是比奥萨伐尔定律的环路积分变为体积分

\begin{equation} \bvec B(\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bvec J(\bvec r') \cross \uvec R}{R^2}\dd{V'} \end{equation}
注意积分内的电流密度是关于源点的函数而不是场点的函数.理论上,体积分应该在导线内部进行,然而导线外部电流密度为零,故积分可以对全空间进行.类比式式 5 , 更明确的写法是
\begin{equation} \bvec B(\bvec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bvec J(\bvec r') \cross (\bvec r - \bvec r')}{\abs{\bvec r - \bvec r'}^3} \dd{V'} \end{equation}
积分时 $\bvec r$ 视为常数.

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