二体问题（分析力学）

贡献者： _Eden_; addis

预备知识　运动积分，中心力场问题

1. 二体问题的运动方程

　　二体问题研究的对象是两个可以看成质点的物体，质量分别为 $m_1,m_2$，位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$。它们之间的相互作用势是 $V(r)=V(| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1- \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|)$，也就是说只和两者的距离有关。开普勒问题、卢瑟福散射都属于二体问题。

　　在这篇文章中我们将用分析力学的方法来解决二体问题。设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 为质心位置，设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为它们的相对位置，那么有

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c &=\frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1+ m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{m_1+m_2}~,\\ \boldsymbol{\mathbf{r}} \ &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _2- \boldsymbol{\mathbf{r}} _1~. \end{aligned}\right. \end{equation}

那么体系的动能为质心动能加上系统相对于质心参考系的动能。

\begin{equation} \begin{aligned} T&=\frac{1}{2}m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_1^2+\frac{1}{2}m_2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_2^2\\ &=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c^2+\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2\\ &=\frac{1}{2}M \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c^2+\frac{1}{2}\mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2 \end{aligned}~. \end{equation}

其中 $M$ 为体系的总质量，$\mu$ 称作约化质量：

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &M=m_1+m_2\\ &\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}~. \end{aligned} \right. \end{equation}

在无外界影响的情况下，$\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_c=0$（这是因为系统的动量守恒）。系统的势能为 $V(r)$。因此拉格朗日量为 $L=T(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })-V(r)$。两个物体一定在同一个平面内作运动，设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在该平面内转过的角度为 $\phi$，设 $| \boldsymbol{\mathbf{r}} |=\rho$。我们取广义坐标 $\rho,\phi$。那么 $T=\frac{1}{2}\mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2$。体系的拉格朗日量和哈密顿量为

\begin{equation} \begin{aligned} &L=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2-V(\rho)~,\\ &H=T+V=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2+V(\rho)~. \end{aligned} \end{equation}

因此可以列出拉格朗日方程：

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\rho}=\frac{\partial L}{\partial \rho}\\&\Rightarrow \mu\ddot\rho-\mu\rho\dot\phi^2+\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\rho} }=0~, \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\\& \Rightarrow \frac{ \,\mathrm{d}{p} _\phi}{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }(\mu \rho^2\dot\phi)=0 \\& \Rightarrow p_\phi=\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}=\mu\rho^2\dot\phi ={\rm const}=J ~. \end{aligned} \end{equation}

式 5 式 6 联立就可以得到二体问题的运动方程（两个方程和两个初始条件，就可以求解两个广义坐标的变化）。或者我们也可以简化方程组，将其中一个替换为能量守恒方程，联立得：

\begin{equation} \begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}\mu \left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2 \right) +V(\rho)=E\\ &\mu\rho^2\dot\phi=J \end{aligned} \right.\\ &\Rightarrow \frac{1}{2}\mu \dot\rho^2=E-V(\rho)-\frac{J^2}{2\mu\rho^2}=E-V_{\rm{eff}}(\rho)~. \end{aligned} \end{equation}

$V_{\rm{eff}}=V(\rho)+\frac{J^2}{2\mu\rho^2}$ 为有效势能。从有效势能与能量 $E$ 的大小关系，可以判断体系处于束缚态还是散射态。

图 1：有效势能（图中蓝线）的函数图像

　　以图 1 为例，对于相互作用势为 $-k/r$ 的二体系统，有效势能 $V_{\rm{eff}}(r)$ 的函数图象如蓝线所示。如果系统的能量 $E$ 恰好等于有效势能极小值（蓝线的最低处），那么系统将作圆周运动；如果 $E<0$，体系处于束缚态，轨道形状为椭圆；如果 $E=0$，那么体系处于散射态，轨道形状为抛物线；如果 $E>0$，那么体系处于散射态，轨道形状为双曲线。轨道形状是二次曲线的原因，与相互作用势 $V=-k/r$ 有关。

　　从上面的运动方程式 7 可以求解出 $\rho$ 关于 $t$ 的函数；然而具体要解出轨道形状，还需要知道 $\phi$ 关于 $t$ 的函数，这就又需要借助角动量守恒方程。为了快速求出轨道形状，我们通常令 $u=1/\rho$ 对上面的式 7 进行化简。注意到 $\dot u=-\dot \rho/\rho^2=\mu\dot \phi\dot \rho/J$，所以 $\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }=\dot u/\dot \phi=\mu\dot \rho/J$。式 7 式就可以改写为 $u$ 与 $\phi$ 的方程：

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{J^2}{2\mu} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=E-V(1/u)-\frac{J^2}{2\mu} u^2~,\\ & \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=\frac{2\mu}{J^2} \left(E-V(1/u) \right) )-u^2~. \end{aligned} \end{equation}

或将上式两侧对 $\phi$ 求导，得到二阶运动方程：

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }+\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }u&=\frac{\mu}{J^2}\frac{- \,\mathrm{d}{V} \left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }\frac{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}{u} }\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \\ \Rightarrow \frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}+u&=-\frac{\mu}{J^2u^2}F(1/u)~. \end{aligned} \end{equation}

式 8 式 9 被称为比耐公式（Binet 公式）。

2. 开普勒问题

　　在开普勒问题中，相互作用势为 $V(\rho)=-Gm_1m_2/\rho=-k/\rho$。那么式 8 变为

\begin{equation} \begin{aligned} \left|\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right|&=\sqrt{-u^2+\frac{2\mu k}{J^2}u+\frac{2\mu E}{J^2}}\\ &=\sqrt{- \left(u-\frac{\mu k}{J^2} \right) ^2+\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}}~. \end{aligned} \end{equation}

该一阶偏微分方程的解的形式为

\begin{equation} u-\frac{\mu k}{J^2}=\alpha \cos\left(\phi-\beta\right) ~, \end{equation}

可以解得

\begin{equation} \begin{aligned} \alpha=\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}}~.\\ \end{aligned} \end{equation}

这样就求得了 $u$ 关于 $\phi$ 的表达式。最后将 $u$ 用 $\rho=1/u$ 表示，得到

\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }~, \end{equation}

其中 $e$ 为轨道的偏心率（或者称离心率）。$p,e$ 由下式给出：

\begin{equation} \begin{aligned} &p=\frac{J^2}{\mu k}\\ &e=\frac{J^2}{\mu k}\alpha=\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~, \end{aligned} \end{equation}

　　开普勒问题的轨道运动方程还可以用龙格—楞次矢量求解。

3. 卢瑟福散射问题

　　卢瑟福通过用 $\alpha$ 粒子轰击金箔，否定了汤姆孙的葡萄干面包模型。卢瑟福惊讶地发现，每 20000 个粒子中，有 1 个 $\alpha$ 粒子会被反弹回去，这是汤姆孙的理论无法解释的。根据卢瑟福的设想，原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷，而负电荷则围绕着它在转，这使得 $\alpha$ 粒子轰击金箔这个二体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用。卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型，为原子结构的研究作出巨大贡献，于 1908 年获得诺贝尔化学奖。

　　在卢瑟福散射问题中，设粒子 1 质量 $m_1$，带电荷 $q_1$；粒子 2 质量 $m_2$，带电荷 $q_2$。两个粒子都是带正电荷的粒子，那么它们之间就有排斥力，相互作用势为

\begin{equation} V(\rho)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\rho}=-\frac{k}{\rho}~. \end{equation}

相互作用势与 $\rho$ 成反比，因此还可以用求解开普勒问题的方法计算。不同的是这里 $k$ 为负数，因此

\begin{equation} \begin{aligned} &p=-\frac{J^2}{\mu |k|}\\ &e=-\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~, \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }=\frac{J^2/\mu |k|}{\sqrt{1+2J^2E/\mu k^2} \cos\left(\phi-\beta\right) -1}~. \end{equation}

为使分母 $>0$，$\phi$ 有一定取值范围：

\begin{equation} \cos\left(\phi-\beta\right) >\frac{1}{|e|} \Rightarrow \phi \in (\phi_1,\phi_2)~. \end{equation}

粒子从无穷远飞来，到与另一粒子距离极小时开始返回，再飞回无穷远。轨道的形状为双曲线。散射角（粒子的偏转角度）$\theta$ 满足为

\begin{equation} \cot\frac{\theta}{2}=\tan\frac{|\phi_1-\phi_2|}{2} =\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{2J^2E}{\mu k^2}}~. \end{equation}

　　（在随粒子 1 平动的参考系中）设粒子 2 从无穷远的距离以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0$ 的速度靠近粒子 1，开始运动所在直线与粒子 2 的距离为 $b$（称为碰撞距离），那么角动量为 $J=\mu bv_0$，能量为 $E=\mu v_0^2/2$。因此可以得到散射角 $\theta$ 与 $b,v_0$ 的关系式：

\begin{equation} \cot \frac{\theta}{2}=\frac{\mu bv_0^2}{k}~. \end{equation}

如果发射大量相同速度粒子 2，探测被粒子 1 “弹” 回的各个方向上的粒子数——不同的碰撞距离将导致不同的散射角。微分散射截面的信息往往反应粒子间相互作用的信息，以帮助人们对粒子的内部结构进行猜测，或对已有的猜想进行实验验证。根据微分散射截面的定义，$ \,\mathrm{d}{\Omega} =2\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} $，$ \,\mathrm{d}{\sigma} =2\pi b \,\mathrm{d}{b} $，有

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }=\frac{b}{\sin \theta}\left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|~. \end{equation}

对式 20 两边微分，得到 $ \,\mathrm{d}{b} $ 和 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 的关系：

\begin{equation} -\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} /2}{\sin^2(\theta/2)}=\mu v_0^2 \,\mathrm{d}{b} /k\Rightarrow \left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|=\frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)}~, \end{equation}

那么

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }&=\frac{ \cot\left(\theta/2\right) |k|/(\mu v_0^2)}{\sin\theta}\cdot \frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)}=\frac{k^2}{4\mu ^2v_0^4\sin^4(\theta/2)} \\ &=\frac{k^2}{16E^2\sin^4(\theta/2)}~, \end{aligned} \end{equation}

其中 $k=-k_eq_1q_2=-q_1q_2/(4\pi\epsilon_0)$（这里 $k_e$ 是静电常数）。该公式与式 4 是一致的。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。