二体问题(分析力学)

             

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 运动积分,中心力场问题

1. 两体问题的运动方程

   两体问题研究的对象是两个可以看成质点的物体,质量分别为 $m_1,m_2$,位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$.它们之间的相互作用势是 $V(r)=V(| \boldsymbol{\mathbf{r}} _1- \boldsymbol{\mathbf{r}} _2|)$,也就是说只和两者的距离有关.开普勒问题、卢瑟福散射 都属于两体问题.

   在这个词条中我们将用分析力学的方法来解决两体问题.设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 为质心位置,设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为它们的相对位置,那么有

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{r}} _c=\frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1+ m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{m_1+m_2}\\ & \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _2- \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \end{aligned} \right. \end{equation}
那么体系的动能为质心动能加上系统相对于质心参考系的动能.
\begin{equation} \begin{aligned} T&=\frac{1}{2}m_1 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^2+\frac{1}{2}m_2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}^2\\ &=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}^2+\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2\\ &=\frac{1}{2}M \dot{ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}} }^2+\frac{1}{2}\mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }} }^2 \end{aligned} \end{equation}
其中 $M$ 为体系的总质量,$\mu$ 称作约化质量:
\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &M=m_1+m_2\\ &\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \end{aligned} \right. \end{equation}
在无外界影响的情况下,$\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}=0$(这是因为系统的动量守恒).系统的势能为 $V(r)$.因此拉格朗日量为 $L=T(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })-V(r)$.两个物体一定在同一个平面内作运动,设 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在该平面内转过的角度为 $\phi$,设 $| \boldsymbol{\mathbf{r}} |=\rho$.我们取广义坐标 $\rho,\phi$.那么 $T=\frac{1}{2}\mu \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }^2=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2$.体系的拉格朗日量和哈密顿量为
\begin{equation} \begin{aligned} &L=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2-V(\rho)\\ &H=T+V=\frac{1}{2}\mu \dot \rho^2+\frac{1}{2}\mu \rho^2\dot\phi^2+V(\rho) \end{aligned} \end{equation}
因此可以列出拉格朗日方程:
\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\rho}=\frac{\partial L}{\partial \rho}\\&\Rightarrow \mu\ddot\rho-\mu\rho\dot\phi^2+\frac{ \,\mathrm{d}{V} }{ \,\mathrm{d}{\rho} }=0 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{\partial L}{\partial \dot\phi}=\frac{\partial L}{\partial \phi}\\& \Rightarrow \frac{ \,\mathrm{d}{p} _\phi}{ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }(\mu \rho^2\dot\phi)=0 \\& \Rightarrow p_\phi=\frac{\partial L}{\partial \dot \phi}=\mu\rho^2\dot\phi ={\rm const}=J \end{aligned} \end{equation}
式 5 式 6 联立就可以得到两体问题的运动方程(两个方程和两个初始条件,就可以求解两个广义坐标的变化).或者我们也可以简化方程组,将其中一个替换为能量守恒方程,联立得:
\begin{equation} \begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}\mu \left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2 \right) +V(\rho)=E\\ &\mu\rho^2\dot\phi=J \end{aligned} \right.\\ &\Rightarrow \frac{1}{2}\mu \dot\rho^2=E-V(\rho)-\frac{J^2}{2\mu\rho^2}=E-V_{\rm{eff}}(\rho) \end{aligned} \end{equation}
$V_{\rm{eff}}=V(\rho)+\frac{J^2}{2\mu\rho^2}$ 为有效势能.从有效势能与能量 $E$ 的大小关系,可以判断体系处于束缚态还是散射态.

图
图 1:有效势能(图中蓝线)的函数图像

   以 图 1 为例,对于相互作用势为 $-k/r$ 的两体系统,有效势能 $V_{\rm{eff}}(r)$ 的函数图象如蓝线所示.如果系统的能量 $E$ 恰好等于有效势能极小值(蓝线的最低处),那么系统将作圆周运动;如果 $E < 0$,体系处于束缚态,轨道形状为椭圆;如果 $E=0$,那么体系处于散射态,轨道形状为抛物线;如果 $E > 0$,那么体系处于散射态,轨道形状为双曲线.轨道形状是二次曲线的原因,与相互作用势 $V=-k/r$ 有关.

   从上面的运动方程式 7 可以求解出 $\rho$ 关于 $t$ 的函数;然而具体要解出轨道形状,还需要知道 $\phi$ 关于 $t$ 的函数,这就又需要借助角动量守恒方程.为了快速求出轨道形状,我们通常令 $u=1/\rho$ 对上面的式 7 进行化简.注意到 $\dot u=-\dot \rho/\rho^2=\mu\dot \phi\dot \rho/J$,所以 $\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }=\dot u/\dot \phi=\mu\dot \rho/J$.式 7 式就可以改写为 $u$ 与 $\phi$ 的方程:

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{J^2}{2\mu} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=E-V(1/u)-\frac{J^2}{2\mu} u^2\\ & \left(\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \right) ^2=\frac{2\mu}{J^2} \left(E-V(1/u) \right) )-u^2 \end{aligned} \end{equation}
或将上式两侧对 $\phi$ 求导,得到二阶运动方程:
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }+\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }u&=\frac{\mu}{J^2}\frac{- \,\mathrm{d}{V} \left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }\frac{ \,\mathrm{d}\left(1/u \right) }{ \,\mathrm{d}{u} }\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} } \\ \Rightarrow \frac{{ \,\mathrm{d}{}} ^2 u}{ \,\mathrm{d}{\phi} ^2}+u&=-\frac{\mu}{J^2u^2}F(1/u) \end{aligned} \end{equation}
式 8 式 9 被称为比耐公式(Binet 公式).关于中心力场运动问题的比耐公式的推导,还可以参考

2. 开普勒问题

   在开普勒问题中,相互作用势为 $V(\rho)=-Gm_1m_2/\rho=-k/\rho$.那么 式 8 变为

\begin{equation} \begin{aligned} \left|\frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{\phi} }\right|&=\sqrt{-u^2+\frac{2\mu k}{J^2}u+\frac{2\mu E}{J^2}}\\ &=\sqrt{- \left(u-\frac{\mu k}{J^2} \right) ^2+\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}} \end{aligned} \end{equation}
该一阶偏微分方程的解的形式为
\begin{equation} u-\frac{\mu k}{J^2}=\alpha \cos\left(\phi-\beta\right) \end{equation}
可以解得
\begin{equation} \begin{aligned} \alpha=\sqrt{\frac{2\mu E}{J^2}+\frac{\mu^2 k^2}{J^4}}\\ \end{aligned} \end{equation}
这样就求得了 $u$ 关于 $\phi$ 的表达式.最后将 $u$ 用 $\rho=1/u$ 表示,得到
\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) } \end{equation}
其中 $e$ 为轨道的偏心率(或者称离心率).$p,e$ 由下式给出:
\begin{equation} \begin{aligned} &p=\frac{J^2}{\mu k}\\ &e=\frac{J^2}{\mu k}\alpha=\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}} \end{aligned} \end{equation}

   开普勒问题的轨道运动方程还可以用龙格—楞次矢量求解

3. 卢瑟福散射问题

   卢瑟福通过用 $\alpha$ 粒子轰击金箔,否定了汤姆孙的葡萄干面包模型.卢瑟福惊讶地发现,每 20000 个粒子中,有 1 个 $\alpha$ 粒子会被反弹回去,这是汤姆孙的理论无法解释的.根据卢瑟福的设想,原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷,而负电荷则围绕着它在转,这使得 $\alpha$ 粒子轰击金箔这个两体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用.卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型,为原子结构的研究作出巨大贡献,于 1908 年获得诺贝尔化学奖.

   在卢瑟福散射问题中,设粒子 1 质量 $m_1$,带电荷 $q_1$;粒子 2 质量 $m_2$,带电荷 $q_2$.两个粒子都是带正电荷的粒子,那么它们之间就有排斥力,相互作用势为

\begin{equation} V(\rho)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\rho}=-\frac{k}{\rho} \end{equation}
相互作用势与 $\rho$ 成反比,因此还可以用求解开普勒问题的方法计算.不同的是这里 $k$ 为负数,因此
\begin{equation} \begin{aligned} &p=-\frac{J^2}{\mu |k|}\\ &e=-\sqrt{1+\frac{2J^2E}{\mu k^2}} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \rho=\frac{p}{1+e \cos\left(\phi-\beta\right) }=\frac{J^2/\mu |k|}{\sqrt{1+2J^2E/\mu k^2} \cos\left(\phi-\beta\right) -1} \end{equation}
为使分母 $ > 0$,$\phi$ 有一定取值范围:
\begin{equation} \cos\left(\phi-\beta\right) > \frac{1}{|e|} \Rightarrow \phi \in (\phi_1,\phi_2) \end{equation}
粒子从无穷远飞来,到与另一粒子距离极小时开始返回,再飞回无穷远.轨道的形状为双曲线.散射角(粒子的偏转角度)$\theta$ 满足为
\begin{equation} \cot\frac{\theta}{2}=\tan\frac{|\phi_1-\phi_2|}{2} =\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{2J^2E}{\mu k^2}} \end{equation}

   (在随粒子 1 平动的参考系中)设粒子 2 从无穷远的距离以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0$ 的速度靠近粒子 1,开始运动所在直线与粒子 2 的距离为 $b$(称为碰撞距离),那么角动量为 $J=\mu bv_0$,能量为 $E=\mu v_0^2/2$.因此可以得到散射角 $\theta$ 与 $b,v_0$ 的关系式:

\begin{equation} \cot \frac{\theta}{2}=\frac{\mu bv_0^2}{k} \end{equation}
如果发射大量相同速度粒子 2,探测被粒子 1 “弹” 回的各个方向上的粒子数——不同的碰撞距离将导致不同的散射角.微分散射截面的信息往往反应粒子间相互作用的信息,以帮助人们对粒子的内部结构进行猜测,或对已有的猜想进行实验验证.根据微分散射截面的定义(散射),$ \,\mathrm{d}{\Omega} =2\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} $,$ \,\mathrm{d}{\sigma} =2\pi b \,\mathrm{d}{b} $,有
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }=\frac{b}{\sin \theta}\left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right| \end{equation}
式 20 两边微分,得到 $ \,\mathrm{d}{b} $ 和 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 的关系:
\begin{equation} -\frac{ \,\mathrm{d}{\theta} /2}{\sin^2(\theta/2)}=\mu v_0^2 \,\mathrm{d}{b} /k\Rightarrow \left|\frac{ \,\mathrm{d}{b} }{ \,\mathrm{d}{\theta} }\right|=\frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)} \end{equation}
那么
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{\sigma} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }&=\frac{ \cot\left(\theta/2\right) |k|/(\mu v_0^2)}{\sin\theta}\cdot \frac{|k|}{2\mu v_0^2\sin^2(\theta/2)}=\frac{k^2}{4\mu ^2v_0^4\sin^4(\theta/2)} \\ &=\frac{k^2}{16E^2\sin^4(\theta/2)} \end{aligned} \end{equation}
其中 $k=-k_eq_1q_2=-q_1q_2/(4\pi\epsilon_0)$(这里 $k_e$ 是静电常数).该公式与式 4 是一致的.


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