二体问题（分析力学）

贡献者： _Eden_; addis

预备知识　运动积分，中心力场问题

1. 二体问题的运动方程

　　二体问题研究的对象是两个可以看成质点的物体，质量分别为 $m_{1}, m_{2}$ ，位矢分别为 $r_{1}, r_{2}$ 。它们之间的相互作用势是 $V (r) = V (| r_{1} - r_{2} |)$ ，也就是说只和两者的距离有关。开普勒问题、卢瑟福散射都属于二体问题。

　　在这篇文章中我们将用分析力学的方法来解决二体问题。设 $r_{c}$ 为质心位置，设 $r$ 为它们的相对位置，那么有

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} r_{c} & = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \\ r & = r_{2} - r_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

那么体系的动能为质心动能加上系统相对于质心参考系的动能。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} T & = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{r}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {\dot{r}}_{2}^{2} \\ = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {\dot{r}}_{c}^{2} + \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {\dot{r}}^{2} \\ = \frac{1}{2} M {\dot{r}}_{c}^{2} + \frac{1}{2} μ {\dot{r}}^{2} \end{aligned} . \end{matrix}

其中

M

为体系的总质量，

μ

称作约化质量：

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} M = m_{1} + m_{2} \\ μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

在无外界影响的情况下，

{\dot{r}}_{c} = 0

（这是因为系统的动量守恒）。系统的势能为

V (r)

。因此拉格朗日量为

L = T (\dot{r}) - V (r)

。两个物体一定在同一个平面内作运动，设

r

在该平面内转过的角度为

ϕ

，设

| r | = ρ

。我们取广义坐标

ρ, ϕ

。那么

T = \frac{1}{2} μ {\dot{r}}^{2} = \frac{1}{2} μ {\dot{ρ}}^{2} + \frac{1}{2} μ ρ^{2} {\dot{ϕ}}^{2}

。体系的拉格朗日量和哈密顿量为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} L = \frac{1}{2} μ {\dot{ρ}}^{2} + \frac{1}{2} μ ρ^{2} {\dot{ϕ}}^{2} - V (ρ), \\ H = T + V = \frac{1}{2} μ {\dot{ρ}}^{2} + \frac{1}{2} μ ρ^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + V (ρ) . \end{aligned} \end{matrix}

因此可以列出拉格朗日方程：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{ρ}} = \frac{\partial L}{\partial ρ} \\ \Rightarrow μ \ddot{ρ} - μ ρ {\dot{ϕ}}^{2} + \frac{d V}{d ρ} = 0, \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} \\ \Rightarrow \frac{d p_{ϕ}}{d t} = \frac{d}{d t} (μ ρ^{2} \dot{ϕ}) = 0 \\ \Rightarrow p_{ϕ} = \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} = μ ρ^{2} \dot{ϕ} = c o n s t = J . \end{aligned} \end{matrix}

式 5 式 6 联立就可以得到二体问题的运动方程（两个方程和两个初始条件，就可以求解两个广义坐标的变化）。或者我们也可以简化方程组，将其中一个替换为能量守恒方程，联立得：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} {\begin{aligned} \frac{1}{2} μ ({\dot{ρ}}^{2} + ρ^{2} {\dot{ϕ}}^{2}) + V (ρ) = E \\ μ ρ^{2} \dot{ϕ} = J \end{aligned} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} μ {\dot{ρ}}^{2} = E - V (ρ) - \frac{J^{2}}{2 μ ρ^{2}} = E - V_{e f f} (ρ) . \end{aligned} \end{matrix}

V_{e f f} = V (ρ) + \frac{J^{2}}{2 μ ρ^{2}}

为有效势能。从有效势能与能量

E

的大小关系，可以判断体系处于束缚态还是散射态。

图 1：有效势能（图中蓝线）的函数图像

　　以图 1 为例，对于相互作用势为 $- k / r$ 的二体系统，有效势能 $V_{e f f} (r)$ 的函数图象如蓝线所示。如果系统的能量 $E$ 恰好等于有效势能极小值（蓝线的最低处），那么系统将作圆周运动；如果 $E < 0$ ，体系处于束缚态，轨道形状为椭圆；如果 $E = 0$ ，那么体系处于散射态，轨道形状为抛物线；如果 $E > 0$ ，那么体系处于散射态，轨道形状为双曲线。轨道形状是二次曲线的原因，与相互作用势 $V = - k / r$ 有关。

　　从上面的运动方程式 7 可以求解出 $ρ$ 关于 $t$ 的函数；然而具体要解出轨道形状，还需要知道 $ϕ$ 关于 $t$ 的函数，这就又需要借助角动量守恒方程。为了快速求出轨道形状，我们通常令 $u = 1 / ρ$ 对上面的式 7 进行化简。注意到 $\dot{u} = - \dot{ρ} / ρ^{2} = μ \dot{ϕ} \dot{ρ} / J$ ，所以 $\frac{d u}{d ϕ} = \dot{u} / \dot{ϕ} = μ \dot{ρ} / J$ 。式 7 式就可以改写为 $u$ 与 $ϕ$ 的方程：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{J^{2}}{2 μ} {(\frac{d u}{d ϕ})}^{2} = E - V (1 / u) - \frac{J^{2}}{2 μ} u^{2}, \\ {(\frac{d u}{d ϕ})}^{2} = \frac{2 μ}{J^{2}} (E - V (1 / u))) - u^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

或将上式两侧对

ϕ

求导，得到二阶运动方程：

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \frac{d^{2} u}{d ϕ^{2}} \frac{d u}{d ϕ} + \frac{d u}{d ϕ} u & = \frac{μ}{J^{2}} \frac{- d V (1 / u)}{d (1 / u)} \frac{d (1 / u)}{d u} \frac{d u}{d ϕ} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d ϕ^{2}} + u & = - \frac{μ}{J^{2} u^{2}} F (1 / u) . \end{aligned} \end{matrix}

式 8 式 9 被称为比耐公式（Binet 公式）。

2. 开普勒问题

　　在开普勒问题中，相互作用势为 $V (ρ) = - G m_{1} m_{2} / ρ = - k / ρ$ 。那么式 8 变为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} | \frac{d u}{d ϕ} | & = \sqrt{- u^{2} + \frac{2 μ k}{J^{2}} u + \frac{2 μ E}{J^{2}}} \\ = \sqrt{- {(u - \frac{μ k}{J^{2}})}^{2} + \frac{2 μ E}{J^{2}} + \frac{μ^{2} k^{2}}{J^{4}}} . \end{aligned} \end{matrix}

该一阶偏微分方程的解的形式为

\begin{matrix} (11) & u - \frac{μ k}{J^{2}} = α \cos (ϕ - β), \end{matrix}

可以解得

\begin{matrix} (12) & \begin{array}{r} α = \sqrt{\frac{2 μ E}{J^{2}} + \frac{μ^{2} k^{2}}{J^{4}}} . \end{array} \end{matrix}

这样就求得了

u

关于

ϕ

的表达式。最后将

u

用

ρ = 1 / u

表示，得到

\begin{matrix} (13) & ρ = \frac{p}{1 + e \cos (ϕ - β)}, \end{matrix}

其中

e

为轨道的偏心率（或者称离心率）。

p, e

由下式给出：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} p = \frac{J^{2}}{μ k} \\ e = \frac{J^{2}}{μ k} α = \sqrt{1 + \frac{2 J^{2} E}{μ k^{2}}}, \end{aligned} \end{matrix}

　　开普勒问题的轨道运动方程还可以用龙格—楞次矢量求解。

3. 卢瑟福散射问题

　　卢瑟福通过用 $α$ 粒子轰击金箔，否定了汤姆孙的葡萄干面包模型。卢瑟福惊讶地发现，每 20000 个粒子中，有 1 个 $α$ 粒子会被反弹回去，这是汤姆孙的理论无法解释的。根据卢瑟福的设想，原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷，而负电荷则围绕着它在转，这使得 $α$ 粒子轰击金箔这个二体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用。卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型，为原子结构的研究作出巨大贡献，于 1908 年获得诺贝尔化学奖。

　　在卢瑟福散射问题中，设粒子 1 质量 $m_{1}$ ，带电荷 $q_{1}$ ；粒子 2 质量 $m_{2}$ ，带电荷 $q_{2}$ 。两个粒子都是带正电荷的粒子，那么它们之间就有排斥力，相互作用势为

\begin{matrix} (15) & V (ρ) = \frac{q_{1} q_{2}}{4 π ϵ_{0} ρ} = - \frac{k}{ρ} . \end{matrix}

相互作用势与

ρ

成反比，因此还可以用求解开普勒问题的方法计算。不同的是这里

k

为负数，因此

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} p = - \frac{J^{2}}{μ | k |} \\ e = - \sqrt{1 + \frac{2 J^{2} E}{μ k^{2}}}, \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (17) & ρ = \frac{p}{1 + e \cos (ϕ - β)} = \frac{J^{2} / μ | k |}{\sqrt{1 + 2 J^{2} E / μ k^{2}} \cos (ϕ - β) - 1} . \end{matrix}

为使分母

> 0

，

ϕ

有一定取值范围：

\begin{matrix} (18) & \cos (ϕ - β) > \frac{1}{| e |} \Rightarrow ϕ \in (ϕ_{1}, ϕ_{2}) . \end{matrix}

粒子从无穷远飞来，到与另一粒子距离极小时开始返回，再飞回无穷远。轨道的形状为双曲线。散射角（粒子的偏转角度）

θ

满足为

\begin{matrix} (19) & \cot \frac{θ}{2} = \tan \frac{| ϕ_{1} - ϕ_{2} |}{2} = \sqrt{e^{2} - 1} = \sqrt{\frac{2 J^{2} E}{μ k^{2}}} . \end{matrix}

　　（在随粒子 1 平动的参考系中）设粒子 2 从无穷远的距离以 $v_{0}$ 的速度靠近粒子 1，开始运动所在直线与粒子 2 的距离为 $b$ （称为碰撞距离），那么角动量为 $J = μ b v_{0}$ ，能量为 $E = μ v_{0}^{2} / 2$ 。因此可以得到散射角 $θ$ 与 $b, v_{0}$ 的关系式：

\begin{matrix} (20) & \cot \frac{θ}{2} = \frac{μ b v_{0}^{2}}{k} . \end{matrix}

如果发射大量相同速度粒子 2，探测被粒子 1 “弹” 回的各个方向上的粒子数——不同的碰撞距离将导致不同的散射角。微分散射截面的信息往往反应粒子间相互作用的信息，以帮助人们对粒子的内部结构进行猜测，或对已有的猜想进行实验验证。根据微分散射截面的定义，

d Ω = 2 π \sin θ d θ

，

d σ = 2 π b d b

，有

\begin{matrix} (21) & \frac{d σ}{d Ω} = \frac{b}{\sin θ} | \frac{d b}{d θ} | . \end{matrix}

对式 20 两边微分，得到

d b

和

d θ

的关系：

\begin{matrix} (22) & - \frac{d θ / 2}{\sin^{2} (θ / 2)} = μ v_{0}^{2} d b / k \Rightarrow | \frac{d b}{d θ} | = \frac{| k |}{2 μ v_{0}^{2} \sin^{2} (θ / 2)}, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} \frac{d σ}{d Ω} & = \frac{\cot (θ / 2) | k | / (μ v_{0}^{2})}{\sin θ} \cdot \frac{| k |}{2 μ v_{0}^{2} \sin^{2} (θ / 2)} = \frac{k^{2}}{4 μ^{2} v_{0}^{4} \sin^{4} (θ / 2)} \\ = \frac{k^{2}}{16 E^{2} \sin^{4} (θ / 2)}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

k = - k_{e} q_{1} q_{2} = - q_{1} q_{2} / (4 π ϵ_{0})

（这里

k_{e}

是静电常数）。该公式与式 4 是一致的。

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