卢瑟福散射

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 1 开普勒问题,散射

   卢瑟福通过用 α 粒子轰击金箔,否定了汤姆孙的葡萄干面包模型。卢瑟福惊讶地发现,每 20000 个粒子中,有 1 个 α 粒子会被反弹回去,这是汤姆孙的理论无法解释的。根据卢瑟福的设想,原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷,而负电荷则围绕着它在转,这使得 α 粒子轰击金箔这个两体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用。卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型,为原子结构的研究作出巨大贡献,于 1908 年获得诺贝尔化学奖。

1. 概要

   定义碰撞参量为双曲线的渐近线到焦点的距离。在卢瑟福散射问题中,双曲线是粒子 2 的轨迹,焦点则是粒子 1 的位置。(在随粒子 1 平动的参考系中)设粒子 2 从无穷远的距离以 v0 的速度靠近粒子 1,开始运动所在直线(即渐近线)与粒子 2 的距离为 b,这就是碰撞参量)。由双曲线的性质,碰撞参量等于双曲线的参数 b

   对于经典散射问题,微分截面等于

(1)dσdΩ=bdbdϕsinθdθdϕ=bsinθdbdθ .
由双曲线性质,偏射角满足
(2)cotθ2=ba .
由反开普勒问题 E=kQq/(2a),消去 a
(3)b=kQq2Ecotθ2 .
求导代入微分截面得
(4)dσdΩ=[kQq4Esin2(θ/2)]2 .

2. 推导

预备知识 2 开普勒第一定律的证明轨道方程、比耐公式

   在上面的推导中我们利用了轨道形状为双曲线这一事实。在这里我们用比耐公式式 8 给出推导。设粒子 1 质量 m1,带电荷 q1;粒子 2 质量 m2,带电荷 q2。在粒子 1 的参考系中考察粒子 2 的运动,并设约化质量 μ=m1m2/(m1+m2)。两个粒子都是带正电荷的粒子,那么它们之间就有排斥力,相互作用势为

(5)V(ρ)=q1q24πϵ0ρ=kρ .
相互作用势与 ρ 成反比,因此还可以用求解开普勒问题的方法计算。不同的是这里 k 没有负号。 由比耐公式(一阶微分方程形式):
(6)(dudϕ)2=2μJ2(EV(1/u)))u2 ,
可以得到
(7)|dudϕ|=u22μkJ2u+2μEJ2=(u+μkJ2)2+2μEJ2+μ2k2J4 .
该一阶偏微分方程的解的形式为
(8)u+μkJ2=αcos(ϕβ) ,
可以解得
(9)α=2μEJ2+μ2k2J4 ,
这样就求得了 u 关于 ϕ 的表达式。最后将 uρ=1/u 表示,得到
(10)ρ=p1+ecos(ϕβ) .
其中 e 为轨道的偏心率(或者称离心率)。p,e 由下式给出:
(11)p=J2μk ,e=J2μkα=1+2J2Eμk2 ,
(12)ρ=p1+ecos(ϕβ)=J2/μk1+2J2E/μk2cos(ϕβ)1 .
为使分母 >0ϕ 有一定取值范围:
(13)cos(ϕβ)>1|e|ϕ(ϕ1,ϕ2) .
粒子从无穷远飞来,到与另一粒子距离极小时开始返回,再飞回无穷远。轨道的形状为双曲线。散射角(粒子的偏转角度)θ 满足为
(14)cotθ2=tan|ϕ1ϕ2|2=e21=2J2Eμk2 ,

   定义碰撞参量为双曲线的渐近线到焦点的距离。在卢瑟福散射问题中,双曲线是粒子 2 的轨迹,焦点则是粒子 1 的位置。(在随粒子 1 平动的参考系中)设粒子 2 从无穷远的距离以 v0 的速度靠近粒子 1,开始运动所在直线(即渐近线)与粒子 2 的距离为 b,这就是碰撞参量),那么角动量为 J=μbv0。能量为 E=μv02/2。因此可以得到散射角 θb,v0 的关系式:

(15)cotθ2=μbv02k .
如果发射大量相同速度粒子 2,探测被粒子 1 “弹” 回的各个方向上的粒子数——不同的碰撞距离将导致不同的散射角。微分散射截面的信息往往反应粒子间相互作用的信息,以帮助人们对粒子的内部结构进行猜测,或对已有的猜想进行实验验证。根据微分散射截面的定义(散射),dΩ=2πsinθdθdσ=2πbdb,有
(16)dσdΩ=bsinθ|dbdθ| .
式 15 两边微分,得到 dbdθ 的关系:
(17)dθ/2sin2(θ/2)=μv02db/k|dbdθ|=k2μv02sin2(θ/2) ,
那么
(18)dσdΩ=cot(θ/2)k/(μv02)sinθk2μv02sin2(θ/2)=k24μ2v04sin4(θ/2)=k216E2sin4(θ/2) ,
其中 k=keq1q2=q1q2/(4πϵ0)


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