卢瑟福散射
贡献者: _Eden_; addis
卢瑟福通过用 粒子轰击金箔,否定了汤姆孙的葡萄干面包模型。卢瑟福惊讶地发现,每 20000 个粒子中,有 1 个 粒子会被反弹回去,这是汤姆孙的理论无法解释的。根据卢瑟福的设想,原子内部应该有一个体积很小的区域聚集了所有的正电荷,而负电荷则围绕着它在转,这使得 粒子轰击金箔这个两体问题的相互作用可以近似为库仑相互作用。卢瑟福因此提出原子的行星轨道模型,为原子结构的研究作出巨大贡献,于 1908 年获得诺贝尔化学奖。
1. 概要
定义碰撞参量为双曲线的渐近线到焦点的距离。在卢瑟福散射问题中,双曲线是粒子 2 的轨迹,焦点则是粒子 1 的位置。(在随粒子 1 平动的参考系中)设粒子 2 从无穷远的距离以 的速度靠近粒子 1,开始运动所在直线(即渐近线)与粒子 2 的距离为 ,这就是碰撞参量)。由双曲线的性质,碰撞参量等于双曲线的参数 。
对于经典散射问题,微分截面等于
由双曲线性质,偏射角满足
由反开普勒问题 ,消去 得
求导代入微分截面得
2. 推导
预备知识 2 开普勒第一定律的证明
,
轨道方程、比耐公式
在上面的推导中我们利用了轨道形状为双曲线这一事实。在这里我们用比耐公式式 8 给出推导。设粒子 1 质量 ,带电荷 ;粒子 2 质量 ,带电荷 。在粒子 1 的参考系中考察粒子 2 的运动,并设约化质量 。两个粒子都是带正电荷的粒子,那么它们之间就有排斥力,相互作用势为
相互作用势与 成反比,因此还可以用求解开普勒问题的方法计算。不同的是这里 没有负号。
由比耐公式(一阶微分方程形式):
可以得到
该一阶偏微分方程的解的形式为
可以解得
这样就求得了 关于 的表达式。最后将 用 表示,得到
其中 为轨道的偏心率(或者称离心率)。 由下式给出:
为使分母 , 有一定取值范围:
粒子从无穷远飞来,到与另一粒子距离极小时开始返回,再飞回无穷远。轨道的形状为双曲线。
散射角(粒子的偏转角度) 满足为
定义碰撞参量为双曲线的渐近线到焦点的距离。在卢瑟福散射问题中,双曲线是粒子 2 的轨迹,焦点则是粒子 1 的位置。(在随粒子 1 平动的参考系中)设粒子 2 从无穷远的距离以 的速度靠近粒子 1,开始运动所在直线(即渐近线)与粒子 2 的距离为 ,这就是碰撞参量),那么角动量为 。能量为 。因此可以得到散射角 与 的关系式:
如果发射大量相同速度粒子 2,探测被粒子 1 “弹” 回的各个方向上的粒子数——不同的碰撞距离将导致不同的散射角。微分散射截面的信息往往反应粒子间相互作用的信息,以帮助人们对粒子的内部结构进行猜测,或对已有的猜想进行实验验证。根据微分散射截面的定义(
散射),,,有
对
式 15 两边微分,得到 和 的关系:
那么
其中 。
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