莫培督原理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 端点可变的作用量

   在拉格朗日函数不显含时间时,物理系统的能量守恒。此时,可以建立作用量原理的更简单的形式,这一简单形式的作用量原理就称为莫培督原理

   莫培督原理可描述为:满足能量守恒的系统的演化(真实运动)是使得

\begin{equation} S_0=\int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i \end{equation}
取极值的曲线,称 $S_0$ 为简约作用量

1. 推导

   在拉氏量不显含时间时,系统能量守恒

\begin{equation} H(p,q)=E=\text{常数} \end{equation}
设系统初末位置不变,仅末时刻 $t$ 可变,那么由式 2
\begin{equation} \delta S=-H\delta t \end{equation}
式 2 代入式 3
\begin{equation} \delta S+E\delta t=0 \end{equation}
由于作用量 $S$ 可写为
\begin{equation} S=\int \int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i-E(t-t_0) \end{equation}
\begin{equation} S_0=\int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i \end{equation}
注意到 $E$ 为常数,于是
\begin{equation} \delta S=\delta S_0-E\delta t \end{equation}
式 7 代入式 4 ,得到
\begin{equation} \delta S_0=0 \end{equation}

2. 应用

   利用莫培督原理,可以确定系统的轨道,这可以通过下面看到。

   能量 $E$ 是 $q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} $ 的函数

\begin{equation} E(q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} )=E \end{equation}
由该方程可以用 $q, \,\mathrm{d}{q} ,E$ 来表达 $ \,\mathrm{d}{t} $,将 $ \,\mathrm{d}{t} $ 代入动量的定义:
\begin{equation} p_i= \frac{\partial }{\partial \dot q^i} L \left(q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} \right) \end{equation}
式 10 代入 式 6 ,这时 $S_0$ 中的变量就仅仅是 $q, \,\mathrm{d}{q} , E$。那么由式 8 就能确定系统的轨道。


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