莫培督原理

贡献者：零穹

预备知识　端点可变的作用量

　　在拉格朗日函数不显含时间时，物理系统的能量守恒。此时，可以建立作用量原理的更简单的形式，这一简单形式的作用量原理就称为莫培督原理。

　　莫培督原理可描述为：满足能量守恒的系统的演化（真实运动）是使得

\begin{matrix} (1) & S_{0} = \int \sum_{i} p_{i} d q^{i} \end{matrix}

取极值的曲线，称

S_{0}

为简约作用量。

1. 推导

　　在拉氏量不显含时间时，系统能量守恒

\begin{matrix} (2) & H (p, q) = E = 常数 . \end{matrix}

设系统初末位置不变，仅末时刻

t

可变，那么由式 2

\begin{matrix} (3) & δ S = - H δ t, \end{matrix}

式 2 代入式 3 有

\begin{matrix} (4) & δ S + E δ t = 0 . \end{matrix}

由于作用量

S

可写为

\begin{matrix} (5) & S = \int \int \sum_{i} p_{i} d q^{i} - E (t - t_{0}), \end{matrix}

记

\begin{matrix} (6) & S_{0} = \int \sum_{i} p_{i} d q^{i} . \end{matrix}

注意到

E

为常数，于是

\begin{matrix} (7) & δ S = δ S_{0} - E δ t, \end{matrix}

式 7 代入式 4 ，得到

\begin{matrix} (8) & δ S_{0} = 0 . \end{matrix}

2. 应用

　　利用莫培督原理，可以确定系统的轨道，这可以通过下面看到。

　　能量 $E$ 是 $q, \frac{d q}{d t}$ 的函数

\begin{matrix} (9) & E (q, \frac{d q}{d t}) = E . \end{matrix}

由该方程可以用

q, d q, E

来表达

d t

，将

d t

代入动量的定义：

\begin{matrix} (10) & p_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}^{i}} L (q, \frac{d q}{d t}) . \end{matrix}

式 10 代入式 6 ，这时

S_{0}

中的变量就仅仅是

q, d q, E

。那么由式 8 就能确定系统的轨道。

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