贡献者： 零穹
在拉格朗日函数不显含时间时，物理系统的能量守恒。此时，可以建立作用量原理的更简单的形式，这一简单形式的作用量原理就称为莫培督原理。
莫培督原理可描述为：满足能量守恒的系统的演化（真实运动）是使得
\begin{equation}
S_0=\int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i~
\end{equation}
取极值的曲线，称 $S_0$ 为
简约作用量。
1. 推导
在拉氏量不显含时间时，系统能量守恒
\begin{equation}
H(p,q)=E=\text{常数}~.
\end{equation}
设系统初末位置不变，仅末时刻 $t$ 可变，那么由
式 2
\begin{equation}
\delta S=-H\delta t~,
\end{equation}
代入
式 3 有
\begin{equation}
\delta S+E\delta t=0~.
\end{equation}
由于作用量 $S$ 可写为
\begin{equation}
S=\int \int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i-E(t-t_0)~,
\end{equation}
记
\begin{equation}
S_0=\int\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i~.
\end{equation}
注意到 $E$ 为常数，于是
\begin{equation}
\delta S=\delta S_0-E\delta t~,
\end{equation}
代入
式 4 ，得到
\begin{equation}
\delta S_0=0~.
\end{equation}
2. 应用
利用莫培督原理，可以确定系统的轨道，这可以通过下面看到。
能量 $E$ 是 $q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} $ 的函数
\begin{equation}
E(q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} )=E~.
\end{equation}
由该方程可以用 $q, \,\mathrm{d}{q} ,E$ 来表达 $ \,\mathrm{d}{t} $，将 $ \,\mathrm{d}{t} $ 代入动量的定义：
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial }{\partial \dot q^i} L \left(q, \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} \right) ~.
\end{equation}
代入
式 6 ，这时 $S_0$ 中的变量就仅仅是 $q, \,\mathrm{d}{q} , E$。那么由
式 8 就能确定系统的轨道。
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