勒让德变换

             

预备知识 分部积分

   勒让德变换的定义很多,有的定义虽然严谨却不易理解.本节采用其最方便理解的方式来定义.

1. 定义

单自变量勒让德变换

定义 1 

   给定一个实单自变量函数 $f(t)$,假设它是一个凸函数,即其导函数 $f'(t)$ 严格单调.将 $f'(t)$ 重命名为一个新的实变量 $s$,如果存在一个实函数 $g(s)$,使得 $g'(s)=t$,那么称 $g(s)$ 是 $f(t)$ 的勒让德变换(Legendre transformation)

   简单来说,勒让德变换就是有两个函数,$f(t)$ 和 $g(s)$,它们使用不同的自变量,但是各自求导以后却能得到对方的自变量:$f'(t)=s$,$g'(s)=t$.这个关系是对称的,因此 $f(t)$ 也是 $g(s)$ 的勒让德变换.使用勒让德变换,可以把凸函数 $f(t)$ 所表示的某些性质改用 $g(s)$ 来表示,相当于用新自变量描述同样的信息.

   如何求 $f(t)$ 勒让德变换呢?如果已知 $f(t)$ 的表达式,那么就可以计算出 $f'(t)=s$,由定义,$f'(t)$ 是一个单调函数,因此存在反函数 $F(s)=t$.由于 $g'(s)=t=F(s)$,我们就可以写出:

\begin{equation} g(s)=\int t \,\mathrm{d}{s} =\int F(s) \,\mathrm{d}{s} \end{equation}

   许多情形下,我们并不知道 $f(t)$ 的显式表达,这个方法就可能并不适用.多亏了分部积分的结果,我们可以有以下简单的方式来得到一个函数的勒让德变换.

与分部积分的关系

   假设 $f(t)$ 和 $g(s)$ 互为彼此的勒让德变换.由分部积分可得,

\begin{equation} \begin{aligned} \,\mathrm{d}{ts} &=s \,\mathrm{d}{t} +t \,\mathrm{d}{s} \\&=f'(t) \,\mathrm{d}{t} +g'(s) \,\mathrm{d}{s} \quad\text{(这一步由勒让德变换得)}\\&= \,\mathrm{d}{f} + \,\mathrm{d}{g} \end{aligned} \end{equation}

   这个结果说明,$ \,\mathrm{d}{g} = \,\mathrm{d}{ts} - \,\mathrm{d}{f} $,由此得

\begin{equation} g=ts-f \end{equation}

   简单总结一下,把 $f(t)$ 变换成 $g(s)$ 的过程,就是用相互交换的两个元素 $t$ 和 $s$ 作乘积,再减去 $f$.注意 $t$ 和 $s$ 的关系是:$f'(t)=s$,$g'(s)=t$.

多自变量勒让德变换

   把微分拓展到偏微分,我们可以自然地推广出多自变量的勒让德变换.

定义 2 

   给定一个实函数 $f(t_1, t_2, \cdots, t_n)$,假设对于任意 $i=1, 2, \cdots, n$,都有 $ \frac{\partial}{\partial{t_i}} f$ 是关于 $t_i$ 的凸函数.将 $ \frac{\partial}{\partial{t_i}} f$ 重命名为 $s_i$,如果存在 $g(s_1, s_2, \cdots, s_k, t_{k+1},\cdots, t_n)$,使得对于任意 $i=1,2,\cdots k$,都有 $ \frac{\partial}{\partial{s_i}} g=t_i$,那么称 $g$ 是 $f$ 替换了自变量 $t_1, \cdots, t_k$ 后的勒让德变换.

   同样地,多自变量勒让德变换也可以用分部积分来求得.如果 $g$ 是定义 2 中所说的替换了前 $k$ 个 $t_i$ 的 $f$ 的勒让德变换,那么有:

\begin{equation} g=\sum\limits_{i=1,2,\cdots, k}t_is_i-f \end{equation}

2. 勒让德变换的性质

   以下描述中,假设 $f_i(t)$ 的勒让德变换是 $g_i(t)$.

习题 1 标度性质

   证明:

  • 如果 $f_2(t)=af_1(t)$,那么 $g_2(s)=ag_1(s/a)$,
  • 如果 $f_2(t)=f_1(at)$,那么 $g_2(s)=g_1(s/a)$.

推论 1 标度性质的推论

   如果 $f_1(t)$ 是一个 $m$ 次齐次函数,那么 $g_1(s)$ 就是一个 $n$ 齐次函数,其中 $1/m+1/n=1$.

习题 2 平移性质

   证明:

  • $f_2(t)=f_1(t)+c\Rightarrow g_2(s)=g_1(s)-c$,其中 $c$ 是任意常数,下同;
  • $f_2(t)=f_1(t+c)\Rightarrow g_2(s)=g_1(s)-cs$

习题 3 反函数性质

   证明:

   $f_2(t)=f_1^{-1}(t)\Rightarrow g_2(s)=-sg_1(1/p)$

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