木块堆叠问题（里拉斜塔）

贡献者： addis

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预备知识　重心

　　¹木块推叠问题也称为里拉斜塔，如图 1 所示。如何对方可以使最顶端的木块伸出最多。

　　可以证明从上到下第 $n$ 块（$n=1,2,\dots$）最多可以伸出的长度为 $Ln/2$。故 $N$ 个木块最多伸出的总长度为

\begin{equation} d_N = \frac{L}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N} \right) ~. \end{equation}

当 $N\to\infty$ 时，括号中的级数称为调和级数，可以证明它不收敛，也就是 $d_N$ 会趋近于无穷。

图 1：里拉斜塔（来自 Wikipedia）

1. 推导

　　我们先来证明，可以用递归法证明。一个关键的思路在于，上方 $n$ 个木块看成一个整体，然后在下方添加一个木块后，$L/2$ 长度的两端质量比例为 $n:1$，所以质心位置应该在 $1/(n+1)$ 处。

　　这里用到一个定理：两个质点系的质心位置就是两个质点系各自的质心的质心，见子节 3 。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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