木块堆叠问题(里拉斜塔)

                     

贡献者: addis

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预备知识 重心

  1木块推叠问题也称为里拉斜塔,如图 1 所示.如何对方可以使最顶端的木块伸出最多.

   可以证明从上到下第 $n$ 块($n=1,2,\dots$)最多可以伸出的长度为 $Ln/2$.故 $N$ 个木块最多伸出的总长度为

\begin{equation} d_N = \frac{L}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N} \right) \end{equation}
当 $N\to\infty$ 时,括号中的级数称为调和级数(链接未完成),可以证明它不收敛,也就是 $d_N$ 会趋近于无穷.

图
图 1:里拉斜塔(来自 Wikipedia)

1. 推导

   我们先来证明, 可以用递归法证明. 一个关键的思路在于,上方 $n$ 个木块看成一个整体,然后在下方添加一个木块后,$L/2$ 长度的两端质量比例为 $n:1$,所以质心位置应该在 $1/(n+1)$ 处.

   这里用到一个定理:两个质点系的质心位置就是两个质点系各自的质心的质心,见子节 3


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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