密度矩阵

             

预备知识 矩阵的迹,投影算符,量子力学的基本假设

  1若一个系综中的 $N$ 个系统中,有 $n_i$($i = 1,2,\dots,k$)个在状态 $ \left\lvert i \right\rangle $(这里假设 $ \left\lvert i \right\rangle $ 是正交归一的).那么这个系综可以用密度矩阵(density matrix)(或算符)描述

\begin{equation} \rho = \sum_i p_i \left\lvert i \right\rangle \left\langle i \right\rvert \end{equation}
其中 $p_i = n_i/N$ 是随机选一个系统,处于状态 $ \left\lvert i \right\rangle $ 的概率.若所有系统都处于同一个 $ \left\lvert i \right\rangle $,那么这个系综就是纯的(pure),否则就是混合的(mixed)

1. 非纯态的等效

   纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 可以唯一地表示为密度矩阵 $\rho = \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $,它的意义也相当明确.

   然而对于非纯态,我们可以使用不同的正交归一的(纯态)基底的概率组合来表示,测量结果却是一样的.因为测量并不能区分量子概率和经典概率.

   例如有一束电子.若这束电子是纯态的,我们就可以通过多次测量得到这个纯态(除了一个总体相位因子).例如通过测量 $ \left\lvert y+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert y- \right\rangle $ 的概率,我们可以确定 $ \left\lvert x+ \right\rangle + c \left\lvert x- \right\rangle $ 中的复数 $c$.

   但若这束电子的自旋方向是随机的,我们既可将其等效为随机的一半 $ \left\lvert x+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert x- \right\rangle $ 构成的,也可以等效为随机的一半 $ \left\lvert y+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert y- \right\rangle $ 构成的.虽然 “实际” 上它们是不一样的,但任何测量都无法区分这两种情况.所以密度矩阵可以是 $\rho = ( \left\lvert x+ \right\rangle \left\langle x+ \right\rvert + \left\lvert x- \right\rangle \left\langle x- \right\rvert )/2$ 也可以是 $\rho = ( \left\lvert y+ \right\rangle \left\langle y+ \right\rvert + \left\lvert y- \right\rangle \left\langle y- \right\rvert )/2$.事实上,它们都是单位矩阵的一半.注意如果概率不是均分的,如 $\rho = ( \left\lvert x+ \right\rangle \left\langle x+ \right\rvert /3 + 2 \left\lvert x- \right\rangle \left\langle x- \right\rvert )/3$ 就无法用 $ \left\lvert y\pm \right\rangle $ 基底表示(一般的对角矩阵经过相似变换后不是对角矩阵).

   纯态和非纯态都可以对应一个唯一密度矩阵.

2. 测量

   对于某个物理量对应的算符 $\Omega$,它的系综平均值(ensemble average)

\begin{equation} \left\langle \bar\Omega \right\rangle = \sum_i p_i \left\langle i \middle| \Omega \middle| i \right\rangle \end{equation}
这个平均值既包含了每个 $ \left\lvert i \right\rangle $ 的平均,又包含了对每个系统的平均.

   系综平均也可以用迹表示为 $ \operatorname {tr}(\Omega\rho)$.根据迹的定义,

\begin{equation} \operatorname {tr}(\Omega\rho) = \sum_j \left\langle j \middle| \Omega\rho \middle| j \right\rangle = \sum_{i,j} p_i \left\langle j \middle| \Omega \middle| i \right\rangle \left\langle i \middle| j \right\rangle = \sum_{i} p_i \left\langle i \middle| \Omega \middle| i \right\rangle = \left\langle \bar\Omega \right\rangle \end{equation}
证毕.

   对于纯态,获得测量值 $\omega$ 的概率可以看作投影算符 $\mathbb P_\omega$ 的平均值(满足 $\mathbb P_\omega^2 = \mathbb P_\omega$)

\begin{equation} P(\omega) = \left\lvert \left\langle \omega \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2 = \left\langle \mathbb P_\omega \psi \middle| \mathbb P_\omega \psi \right\rangle = \left\langle \psi \middle| \mathbb P_\omega \middle| \psi \right\rangle \end{equation}
所以对于混合态,测量值 $\omega$ 的概率为
\begin{equation} \overline{P(\omega)} = \operatorname {tr}(\mathbb P_\omega\rho) \end{equation}

3. 密度矩阵的性质


1. ^ 参考 Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2ed,以及 Wikipedia

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