密度矩阵

预备知识　矩阵的迹，投影算符，量子力学的基本假设

　　¹若一个系综中的 $N$ 个系统中，有 $n_i$（$i = 1,2,\dots,k$）个在状态 $ \left\lvert i \right\rangle $（这里假设 $ \left\lvert i \right\rangle $ 是正交归一的）．那么这个系综可以用密度矩阵（density matrix）（或算符）描述

\begin{equation} \rho = \sum_i p_i \left\lvert i \right\rangle \left\langle i \right\rvert \end{equation}

其中 $p_i = n_i/N$ 是随机选一个系统，处于状态 $ \left\lvert i \right\rangle $ 的概率．若所有系统都处于同一个 $ \left\lvert i \right\rangle $，那么这个系综就是纯的（pure），否则就是混合的（mixed）．

1. 非纯态的等效

　　纯态 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 可以唯一地表示为密度矩阵 $\rho = \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $，它的意义也相当明确．

　　然而对于非纯态，我们可以使用不同的正交归一的（纯态）基底的概率组合来表示，测量结果却是一样的．因为测量并不能区分量子概率和经典概率．

　　例如有一束电子．若这束电子是纯态的，我们就可以通过多次测量得到这个纯态（除了一个总体相位因子）．例如通过测量 $ \left\lvert y+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert y- \right\rangle $ 的概率，我们可以确定 $ \left\lvert x+ \right\rangle + c \left\lvert x- \right\rangle $ 中的复数 $c$．

　　但若这束电子的自旋方向是随机的，我们既可将其等效为随机的一半 $ \left\lvert x+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert x- \right\rangle $ 构成的，也可以等效为随机的一半 $ \left\lvert y+ \right\rangle $ 和 $ \left\lvert y- \right\rangle $ 构成的．虽然 “实际” 上它们是不一样的，但任何测量都无法区分这两种情况．所以密度矩阵可以是 $\rho = ( \left\lvert x+ \right\rangle \left\langle x+ \right\rvert + \left\lvert x- \right\rangle \left\langle x- \right\rvert )/2$ 也可以是 $\rho = ( \left\lvert y+ \right\rangle \left\langle y+ \right\rvert + \left\lvert y- \right\rangle \left\langle y- \right\rvert )/2$．事实上，它们都是单位矩阵的一半．注意如果概率不是均分的，如 $\rho = ( \left\lvert x+ \right\rangle \left\langle x+ \right\rvert /3 + 2 \left\lvert x- \right\rangle \left\langle x- \right\rvert )/3$ 就无法用 $ \left\lvert y\pm \right\rangle $ 基底表示（一般的对角矩阵经过相似变换后不是对角矩阵）．

　　纯态和非纯态都可以对应一个唯一密度矩阵．

2. 测量

　　对于某个物理量对应的算符 $\Omega$，它的系综平均值（ensemble average）为

\begin{equation} \left\langle \bar\Omega \right\rangle = \sum_i p_i \left\langle i \middle| \Omega \middle| i \right\rangle \end{equation}

这个平均值既包含了每个 $ \left\lvert i \right\rangle $ 的平均，又包含了对每个系统的平均．

　　系综平均也可以用迹表示为 $ \operatorname {tr}(\Omega\rho)$．根据迹的定义，

\begin{equation} \operatorname {tr}(\Omega\rho) = \sum_j \left\langle j \middle| \Omega\rho \middle| j \right\rangle = \sum_{i,j} p_i \left\langle j \middle| \Omega \middle| i \right\rangle \left\langle i \middle| j \right\rangle = \sum_{i} p_i \left\langle i \middle| \Omega \middle| i \right\rangle = \left\langle \bar\Omega \right\rangle \end{equation}

证毕．

　　对于纯态，获得测量值 $\omega$ 的概率可以看作投影算符 $\mathbb P_\omega$ 的平均值（满足 $\mathbb P_\omega^2 = \mathbb P_\omega$）

\begin{equation} P(\omega) = \left\lvert \left\langle \omega \middle| \psi \right\rangle \right\rvert ^2 = \left\langle \mathbb P_\omega \psi \middle| \mathbb P_\omega \psi \right\rangle = \left\langle \psi \middle| \mathbb P_\omega \middle| \psi \right\rangle \end{equation}

所以对于混合态，测量值 $\omega$ 的概率为

\begin{equation} \overline{P(\omega)} = \operatorname {tr}(\mathbb P_\omega\rho) \end{equation}

3. 密度矩阵的性质

密度矩阵算符是厄米算符（自伴算符）
密度矩阵的迹为 1

1. ^ 参考 Shankar, Principles of Quantum Mechanics 2ed，以及 Wikipedia

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