贡献者： addis
本文只讨论有限维向量空间。
定理 1 正交分解
令 $M$ 为 $N$ 维内积空间 $X$ 的子空间。那么任意 $u\in X$ 有唯一的正交分解：
\begin{equation}
u = v + w \qquad (v\in M, w\in M^\bot)~,
\end{equation}
其中 $M^\bot$ 是 $M$ 在 $X$ 中的正交补空间（
定义 2 ）。
根据正交子空间的定义，分解后的两个向量正交：$ \left\langle v \middle| w \right\rangle = 0$，故有勾股定理（式 8 ）
\begin{equation}
\left\lVert u \right\rVert ^2 = \left\lVert v \right\rVert ^2 + \left\lVert w \right\rVert ^2~,
\end{equation}
其中范数使用内积定义 $ \left\lVert u \right\rVert = \sqrt{ \left\langle u \middle| u \right\rangle }$。
例 1 三维几何矢量的正交分解
三维几何向量 空间 $X$ 中，一个过原点的平面是它的一个子空间 $M \subset X$，该平面过原点的法线就是它的正交补空间 $M^\bot$。 任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in X$ 可以唯一地正交分解成 $M$ 上的一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和法线上的一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} $，且满足勾股定理 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ^2 = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 + \boldsymbol{\mathbf{w}} ^2$。
未完成：图
这只是定理 1 一个很显然的例子，若考虑 4 维几何矢量空间中矢量正交分解到两个正交的 2 维平面上，则唯一性就没那么显然了。
证明：令 $M$ 和 $M^\bot$ 的一组正交归一基底分别为 $\{\alpha_i\}$ 和 $\{\beta_i\}$。那么它们的并集就是 $X$ 的一组正交归一基底（定理 2 ）。将 $u$ 分解到基底上有
\begin{equation}
u = \sum_i a_i \alpha_i + \sum_j b_j \beta_j~,
\end{equation}
该分解是唯一的。证毕。
定义 1 投影算符
对每个子空间 $M\subseteq X$，我们定义对应的（正交）投影算符 $P_M$ 根据式 1 将每个 $u\in X$ 映射到 $v\in M$。
定理 2
令投影算符 $P$ 将 $N$ 维空间 $X$ 中的矢量（正交）投影到其子空间 $M$ 中，若 $ \left\{\mu_i \right\} $ 是 $M$ 的一组正交归一基底。那么投影算符可以用狄拉克符号表示为（见式 2 ）
\begin{equation}
P = \sum_i \left\lvert \mu_i \right\rangle \left\langle \mu_i \right\rvert ~.
\end{equation}
1. 投影算符是厄米算符
投影算符 $P$ 是厄米算符（也叫自伴算符），即对任意 $u, v\in X$ 满足 $ \left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \left\langle Pu \middle| v \right\rangle $。
投影算符有 $0$ 和 $1$ 两个本征值。对应的本征矢分别是 $M$ 和 $M^\bot$ 空间中的所有矢量。
证明
对任意 $u, v\in X$，有
\begin{equation}
\left\langle u \middle| Pv \right\rangle = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\langle Pu \middle| v \right\rangle = \overline { \left\langle v \middle| Pu \right\rangle } = \sum_i \overline{\ \left\langle v \middle| a_i \right\rangle }\overline{ \left\langle a_i \middle| u \right\rangle } = \sum_i \ \left\langle u \middle| a_i \right\rangle \left\langle a_i \middle| v \right\rangle = \left\langle u \middle| Pv \right\rangle ~.
\end{equation}
证毕。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。