正交分解、投影算符

贡献者： addis

预备知识　正交子空间，狄拉克符号

　　本文只讨论有限维向量空间。

定理 1　正交分解

　　令 $M$ 为 $N$ 维内积空间 $X$ 的子空间。那么任意 $u \in X$ 有唯一的正交分解：

\begin{matrix} (1) & u = v + w (v \in M, w \in M^{⊥}), \end{matrix}

其中

M^{⊥}

是

M

在

X

中的正交补空间（定义 2 ）。

　　根据正交子空间的定义，分解后的两个向量正交： $⟨ v | w ⟩ = 0$ ，故有勾股定理（式 8 ）

\begin{matrix} (2) & {‖ u ‖}^{2} = {‖ v ‖}^{2} + {‖ w ‖}^{2}, \end{matrix}

其中范数使用内积定义

‖ u ‖ = \sqrt{⟨ u | u ⟩}

。

例 1　三维几何矢量的正交分解

　　三维几何向量空间 $X$ 中，一个过原点的平面是它的一个子空间 $M \subset X$ ，该平面过原点的法线就是它的正交补空间 $M^{⊥}$ 。任意 $u \in X$ 可以唯一地正交分解成 $M$ 上的一个向量 $v$ 和法线上的一个矢量 $w$ ，且满足勾股定理 $u^{2} = v^{2} + w^{2}$ 。

未完成：图

　　这只是定理 1 一个很显然的例子，若考虑 4 维几何矢量空间中矢量正交分解到两个正交的 2 维平面上，则唯一性就没那么显然了。

　　证明：令 $M$ 和 $M^{⊥}$ 的一组正交归一基底分别为 ${α_{i}}$ 和 ${β_{i}}$ 。那么它们的并集就是 $X$ 的一组正交归一基底（定理 2 ）。将 $u$ 分解到基底上有

\begin{matrix} (3) & u = \sum_{i} a_{i} α_{i} + \sum_{j} b_{j} β_{j}, \end{matrix}

该分解是唯一的。证毕。

定义 1　投影算符

　　对每个子空间 $M \subseteq X$ ，我们定义对应的（正交）投影算符 $P_{M}$ 根据式 1 将每个 $u \in X$ 映射到 $v \in M$ 。

定理 2　

　　令投影算符 $P$ 将 $N$ 维空间 $X$ 中的矢量（正交）投影到其子空间 $M$ 中，若 ${μ_{i}}$ 是 $M$ 的一组正交归一基底。那么投影算符可以用狄拉克符号表示为（见式 2 ）

\begin{matrix} (4) & P = \sum_{i} | μ_{i} ⟩ ⟨ μ_{i} | . \end{matrix}

1. 投影算符是厄米算符

　　投影算符 $P$ 是厄米算符（也叫自伴算符），即对任意 $u, v \in X$ 满足 $⟨ u | P v ⟩ = ⟨ P u | v ⟩$ 。

　　投影算符有 $0$ 和 $1$ 两个本征值。对应的本征矢分别是 $M$ 和 $M^{⊥}$ 空间中的所有矢量。

证明

　　对任意 $u, v \in X$ ，有

\begin{matrix} (5) & ⟨ u | P v ⟩ = \sum_{i} ⟨ u | a_{i} ⟩ ⟨ a_{i} | v ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & ⟨ P u | v ⟩ = \overset{―}{⟨ v | P u ⟩} = \sum_{i} \overset{―}{⟨ v | a_{i} ⟩} \overset{―}{⟨ a_{i} | u ⟩} = \sum_{i} ⟨ u | a_{i} ⟩ ⟨ a_{i} | v ⟩ = ⟨ u | P v ⟩ . \end{matrix}

证毕。

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正交分解、投影算符

定理 1 正交分解

例 1 三维几何矢量的正交分解

定义 1 投影算符

定理 2

1. 投影算符是厄米算符

证明

定理 1　正交分解

例 1　三维几何矢量的正交分解

定义 1　投影算符

定理 2　