正交分解、投影算符

                     

贡献者: addis

预备知识 正交子空间,狄拉克符号

   本文只讨论有限维向量空间。

定理 1 正交分解

   令 MN内积空间 X 的子空间。那么任意 uX 有唯一的正交分解:

(1)u=v+w(vM,wM) ,
其中 MMX 中的正交补空间(定义 2 )。

   根据正交子空间的定义,分解后的两个向量正交:v|w=0,故有勾股定理(式 8

(2)u2=v2+w2 ,
其中范数使用内积定义 u=u|u

例 1 三维几何矢量的正交分解

   三维几何向量 空间 X 中,一个过原点的平面是它的一个子空间 MX,该平面过原点的法线就是它的正交补空间 M。 任意 uX 可以唯一地正交分解成 M 上的一个向量 v 和法线上的一个矢量 w,且满足勾股定理 u2=v2+w2

未完成:图

   这只是定理 1 一个很显然的例子,若考虑 4 维几何矢量空间中矢量正交分解到两个正交的 2 维平面上,则唯一性就没那么显然了。

   证明:令 MM 的一组正交归一基底分别为 {αi}{βi}。那么它们的并集就是 X 的一组正交归一基底(定理 2 )。将 u 分解到基底上有

(3)u=iaiαi+jbjβj ,
该分解是唯一的。证毕。

定义 1 投影算符

   对每个子空间 MX,我们定义对应的(正交)投影算符 PM 根据式 1 将每个 uX 映射到 vM

定理 2 

   令投影算符 PN 维空间 X 中的矢量(正交)投影到其子空间 M 中,若 {μi}M 的一组正交归一基底。那么投影算符可以用狄拉克符号表示为(见式 2

(4)P=i|μiμi| .

1. 投影算符是厄米算符

   投影算符 P 是厄米算符(也叫自伴算符),即对任意 u,vX 满足 u|Pv=Pu|v

   投影算符有 01 两个本征值。对应的本征矢分别是 MM 空间中的所有矢量。

证明

   对任意 u,vX,有

(5)u|Pv=i u|aiai|v ,
(6)Pu|v=v|Pu=i v|aiai|u=i u|aiai|v=u|Pv .
证毕。


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