正交分解、投影算符
贡献者: addis
本文只讨论有限维向量空间。
定理 1 正交分解
令 为 维内积空间 的子空间。那么任意 有唯一的正交分解:
其中 是 在 中的正交补空间(
定义 2 )。
根据正交子空间的定义,分解后的两个向量正交:,故有勾股定理(式 8 )
其中范数使用内积定义 。
例 1 三维几何矢量的正交分解
三维几何向量 空间 中,一个过原点的平面是它的一个子空间 ,该平面过原点的法线就是它的正交补空间 。 任意 可以唯一地正交分解成 上的一个向量 和法线上的一个矢量 ,且满足勾股定理 。
未完成:图
这只是定理 1 一个很显然的例子,若考虑 4 维几何矢量空间中矢量正交分解到两个正交的 2 维平面上,则唯一性就没那么显然了。
证明:令 和 的一组正交归一基底分别为 和 。那么它们的并集就是 的一组正交归一基底(定理 2 )。将 分解到基底上有
该分解是唯一的。证毕。
定义 1 投影算符
对每个子空间 ,我们定义对应的(正交)投影算符 根据式 1 将每个 映射到 。
定理 2
令投影算符 将 维空间 中的矢量(正交)投影到其子空间 中,若 是 的一组正交归一基底。那么投影算符可以用狄拉克符号表示为(见式 2 )
1. 投影算符是厄米算符
投影算符 是厄米算符(也叫自伴算符),即对任意 满足 。
投影算符有 和 两个本征值。对应的本征矢分别是 和 空间中的所有矢量。
证明
对任意 ,有
证毕。
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