泊松括号

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 哈密顿正则方程

   在理论力学里,泊松括号的引入能更加简洁地表明运动积分需要满足的条件。所谓运动积分,可以简单理解为在某一动力学系统中,不随时间改变的常数。动力学系统总满足二阶微分方程,所以我们总可以找到这样的运动积分。现在设 $f(q,p,t)$ 为粒子关于动量、坐标和时间的函数,且为运动积分,则根据定义我们有:

\begin{equation} \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial f}{\partial p}\dot{ p}~. \end{equation}
结合正则方程,我们可以把上式改写为
\begin{equation} \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+ \left\{H, f\right\} ~. \end{equation}
引入的泊松记号定义如下:

   对于任意两个函数 $u(q, p, t)$ 和 $v(q, p, t)$,泊松括号的 “作用” 为

\begin{equation} \left\{u, v\right\} = \sum_i \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial p_i} ~, \end{equation}
其中 $i$ 为系统的自由度。显然,如果函数 $f$ 不显含时间,且为运动积分(也就是一守恒量),则该函数与系统哈密顿量的泊松括号为 0.

1. 泊松括号的性质

   根据定义,我们可以证明泊松括号满足如下几条性质。

  1. 反对称性 $\{u,v\}=-\{v,u\}$
  2. 双线性 $ \left\{au+bv, \phi\right\} =a \left\{u, \phi\right\} +b \left\{v, \phi\right\} $
  3. $ \left\{uv, f\right\} = \left\{u, f\right\} v+u \left\{v, f\right\} $
  4. 轮换性,即雅克比恒等式
    \begin{equation} \left\{f, \left\{g, h\right\} \right\} + \left\{g, \left\{h, f\right\} \right\} + \left\{h, \left\{f, g\right\} \right\} =0~. \end{equation}

   前三条性质的证明只需套用定义,读者可自行验证。至于雅克比恒等式的证明,这里提供一条相对简单的思路。注意到,若固定函数 $u$,则泊松括号 $ \left\{u, v\right\} $ 可视作对 $v$ 的线性映射,实际上是一线性微分算符。那么进行两次泊松括号的运算,实际上是对 $v$ 求二阶偏导数。雅克比恒等式的三项都套了两层括号,那么展开后的式子是 $f,g,h$ 中任意函数的二阶偏导。通过观察底层括号,你会发现,$f,g,h$ 都出现了两次。那么如果我们能证明,进行两次泊松运算后,对其中一个函数的二阶偏导数是两两抵消的(只剩一阶偏导数),自然就证明了这条性质。具体的推导参见朗道的力学。

2. 泊松定理

   如果在一个系统里,我们能找到两个运动积分 $f$ 和 $g$,那么可以证明 $ \left\{f, g\right\} $ 也是一运动积分。证明如下:

\begin{equation} \frac{d \left\{f, g\right\} }{dt}= \left\{\frac{df}{dt}, g\right\} + \left\{f, \frac{dg}{dt}\right\} =0~. \end{equation}

3. 量子力学中的 “泊松” 括号

   如果读者已经学习过量子力学,可能会发现对易运算与泊松括号的相似之处。对易子作为量子力学的公设之一,其运算导出了力学量的运动方程,形式上也与本篇式 2 一致(当然,经典力学与量子力学的相似之处不止如此)。如果我们遵循某种额外施加的条件并视之为原则,那么我们可以找到这两种运算的直接联系。

   具体而言,我们假设,量子力学的对易运算其性质与经典力学相同,且算符不对易。那么我们有两种方法计算 $ \left\{uv, fg\right\} $

\begin{equation} \begin{aligned} \left\{uv, fg\right\} &=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} gv+uf \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g\\ &=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} vg+fu \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g~. \end{aligned} \end{equation}
因此,我们有
\begin{equation} \left\{u, f\right\} (gv-vg)=(uf-fu) \left\{v, g\right\} ~. \end{equation}
此式对 $u,f$ 永远成立,则需要 $(uf-fu)$ 与 $ \left\{u, f\right\} $ 线性依赖,所以
\begin{equation} i\hbar \left\{u, f\right\} =[u,f]~. \end{equation}

   为什么这里会出现 $i\hbar$?我想应该是因为我们关心的,往往是能被实际观测到的物理量,假定这些物理量为厄米算符,那么厄米算符的对易子一般是非厄米的,所以左边的泊松括号需要乘以复数 $i$,$\hbar$ 则为量纲为角动量的实常数.这可以是一个构建经典与量子之间对应的思路,譬如最基本的对易关系为 $[p,q]$。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利