约化密度矩阵

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 密度矩阵,张量积空间的算符

   对于孤立系统,我们知道其量子态是 Hilbert 空间的一个射线,而量子测量一个正交投影算符,系统的动力学演化是幺正的($U(t,0)=e^{-iHt}$)。现在我们转而研究开放系统(open systems),也就是说,当我们考察一个更大的量子系统中的一个子系统,那么这个子系统与外部之间是有相互作用的。此时子系统的不再是射线,对它的测量不再是正交投影算符,同时子系统的演化也不再是幺正的了。

1. 偏迹

   假设整个大系统的 Hilbert 空间可以表示为两个子 Hilbert 空间的张量积:$\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$,其中 $\mathcal A$ 是待研究的子系统的 Hilbert 空间。可以将该大系统的量子态表示为

\begin{equation} \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}=\sum_{i,\mu}a_{i\mu} \left\lvert i \right\rangle _A\otimes \left\lvert \mu \right\rangle _B \end{equation}
其中 $ \left\lvert i \right\rangle _A, \left\lvert \mu \right\rangle _B$ 分别组成了 $\mathcal{H}_A, \mathcal{H}_B$ 的两组正交完备基,因此 $ \left\lvert i \right\rangle _A, \left\lvert \mu \right\rangle _B$ 组成了 $\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ 的正交完备基。现在考虑对子系统 A 的测量操作 $M_A$(它是 $\mathcal H_A$ 的正交投影算符),它所对应的 $\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B$ 上的测量算符应当是 $M_A\otimes I_B$。该可观测量的期望值为
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle M_A \right\rangle &={}_{AB} \left\langle \psi \right\rvert M_A\otimes I_B \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}\\ &=\sum_{i,j,\mu}a_{i\mu}^*a_{j\mu} \cdot [{}_A \left\langle i \right\rvert M_A \left\lvert j \right\rangle _A]\\ &=\text{tr}(M_A \rho_A) \end{aligned} \end{equation}
其中 $\rho_A$ 被定义为
\begin{equation} \rho_A=\text{tr}_B( \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert )=\sum_{i,j,\mu}a_{i\mu}a_{j\mu}^* \left\lvert i \right\rangle \left\langle j \right\rvert \end{equation}
我们称该算符为约化密度算符,$\text{tr}_B$ 为偏迹(partial trace),有时候也被称为部分迹,也就是说,我们只对 $\rho= \left\lvert \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\rvert $ 中 $\mathcal{H}_B$ 的指标部分取迹。

2. 约化密度算符的性质

预备知识 正定矩阵

   根据式 3 ,我们很容易证明以下性质:

  1. $\rho_A$ 是厄米的。
  2. $\rho_A$ 是正定的,也就是说对于任意 $ \left\lvert \varphi \right\rangle $,$ \left\langle \varphi \right\rvert {\rho_A} \left\lvert \varphi \right\rangle \ge 0$。
  3. $\text{tr}(\rho_A)=1$,这是由于 $ \left\lvert \psi \right\rangle _{AB}$ 是归一化的。

   因为密度矩阵的正定性,它总是可以在一组正交完备基上对角化,也就是说总是可以表示为

\begin{equation} \rho_A=\sum_a p_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert \end{equation}
其中 $ \left\lvert a \right\rangle $ 组成了 $\mathcal{H}$ 的一组正交完备基;$p_a$ 是该正定算符的特征值,且 $\sum_a p_a=1,p_a > 0$。如果 $\rho^2\neq \rho$,那么所有 $p_a$ 都小于 $1$,此时子系统 $A$ 不再是一个纯态,而是多个纯态组成的系综,系综中每个态都被赋予了一个经典意义上概率的诠释,即都有一定的概率 $p_a$ 出现。这可以从以下的式子中看到:
\begin{equation} \left\langle M \right\rangle =\text{tr} M\rho_A = \sum_a p_a \left\langle a \right\rvert M \left\lvert a \right\rangle \end{equation}

   除了 $\rho^2\neq \rho$ 这个判据以外,我们也可以采用以下的判据

\begin{equation} \text{tr} \rho^2 < 1 \end{equation}
若该判据成立,那么 $A$ 就不是纯态;否则 $A$ 是纯态。

   若 $A$ 不是纯态,那么可以知道 $A$ 与 $B$ 间存在纠缠,以至于 $A$ 不能被视作孤立的系统。


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